Статистическая теория необратимых процессов - Айзеншиц Р.
Скачать (прямая ссылка):
Для вывода коэффициента вязкости уравнение (4.10) следует умножить на : P1P1. Тот же результат в конечном итоге
^r f /0(А)[(РіРі -J Pli) ¦ (P1Pi)] rfPi
и ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
41
получится, если из соображений удобства левая часть будет умножена на ^P1P1 — -g- P1l), а правая часть на
: - т [(Р& - T ) + fa! - J ) -
- (P2P2-JPil) - (PiP, - T^?1)]' (4Л4)
В соответствии с (3.11) выражение (4.14) упрощается, принимая вид
:[2(К • Pj2KK- (К • р_)(Кр_ + P К)]. (4.15)
Под знак интеграла в уравнение (4.10) следует подставить скалярный квадрат тензора (4.15). При вычислении скалярных произведений можно воспользоваться уравнениями (3.12) и соотношениями
1:1 = 3. (P1P1)Jl = P?. (P1P1) = (P1P1) = Pr (4.16)
Применяя эти соотношения и умножая на /0(Рі)^Рі> мы полно лью вычисляем левую часть уравнения (4.10) и упрощаем правую часть:
Ш (2™w3f exP (- fUf) « • PJ2.
(4.17)
[pi —(К • p_)2]p_BdBdpdp+ dр_.
Так как угол отклонения не зависит от р и ?, интегрирование по этим переменным можно выполнить в общем виде. При этом получаем
G
с ?(kT)''*J
где
J= f е-P'P5J (P)dp, j (р) = в\пЦ(р, В) В dB, (4 Л9)
(AmkT)1'' '
здесь j — дифференциальное сечение столкновения, J—его средневзвешенное значение. При определении j угол столкнове- ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
39
получится, если из соображений удобства левая часть будет умножена на : ^p1P1 — j, а правая часть на
: - Т.[(РМ - І ) + (РІРЇ - І & ) *
- (Р2Р2 - Й1) - (PiP1 - jP?l)]- (4-14)
В соответствии с (3.11) выражение (4.14) упрощается, принимая вид
: [2(К • р_)2КК —(К • р )(Кр + P Ю1. (4.15)
Под знак интеграла в уравнение (4.10) следует подставить скалярный квадрат тензора (4.15). При вычислении скалярных произведений можно воспользоваться уравнениями (3.12) и соотношениями
1:1 = 3. (P1P1): I = tf. (P1P1)--(P1P1) = ^- (4-16)
Применяя эти соотношения и умножая на f0(pi)dpx, мы полно лью вычисляем левую часть уравнения (4.10) и упрощаем правую часть:
10Pfer= (І)2 °с <2™*7Г 8 f exp (- ^Mr1) « * P-)2'
(4.17)
[РІ — (К • P Jf]p_BdBd$ dp+ dp_.
Так как угол отклонения не зависит от р+ и ?, интегрирование по этим переменным можно выполнить в общем виде. При этом получаем
Oc = J^-, (4.18)
где
J— J е-P'P5J-(P) dp,
У (P) = sin» ф (р. В) В dB, (4 л 9) _ р
Р ~ (AmkT)1I' '
здесь J — дифференциальное сечение столкновения, J—его средневзвешенное значение. При определении j угол столкнове- ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
43
а правую — на
^ Г/.'« в\ / 4
(j2____л )„'
\2mkT 2/PS-1"\2mkT 2 J pI'
__Mn-LiL M
V 2mkT 2 / р2 \ 2mkT 2 ) Pl
(4.22)
В соответствии с теоремой о столкновениях вектор (4.22) будет равен
2W[-(P+-P-)K+2(K'P-)(K-P,)K-
(К • Р+)Р_](К • р_). (4.23)
Скалярный квадрат вектора (4.23) следует подставить в подынтегральное выражение (4.11). Путем умножения на f0(pl)dpl мы можем полностью вычислить левую часть (4.11) и упростить правую часть:
15Jbr- _rexpf_A±A)x
2 32/я2(2тй7У/гя"' J 4mkT J^
X [(Р+ • Р_)2 + (К • Р+)2Р2_ -2(К • Р_)(К • р+)(р+р.)] X
X (К • p_fp_BdBd$dp+ dp_.
Усредняя, далее, по направлениям вектора р+, мы должны учесть, что среднее по направлениям от любой нечетной степени компоненты р+ равно нулю, а среднее от квадрата любой декартовой компоненты р+ равно одной трети от среднего значения P1 . Далее,
(К-Р+)(Р4 -Р_) = (К-Р+)2(К-Р_).
Таким образом, интегрирование по dp+ и ? дает
Gt = 15 (KtnkTjk рJ. (4.24)
Средний поток энергии равен
Q= -Ш (2Шт) Ы°гЬ^{-2Шт) Уш А) (a'pi) X 44
ГЛАВА III
Разлагая по декартовым координатам, мы находим, что он равен вектору &Т, умноженному на скаляр:
Q = ~m(kTfOT&T. (4.25)
Подставляя (4.24) в (4.25), получим коэффициент теплопроводности как множитель при &Т-.
ъ&т- (4-26)
Сечения столкновения для теплопроводности и вязкости одинаковы, однако этот результат не обязательно должен сохраниться при более точном выводе. Отношение двух коэффициентов переноса не зависит от этого сечения:
-=4—- (4-27)
Tj 2 m v '
Таким образом, мы видим, что коэффициенты переноса можно вывести из молекулярных свойств — массы и потенциала взаимодействия.
Функции распределения для смесей зависят не только от температуры и плотности, но и от концентрации, как от параметра. В этом случае кинетические уравнения устанавливаются для каждого типа молекул, причем учитывается различие между силами взаимодействия пар, состоящих из различных частиц., По этой причине математический аппарат оказывается более сложным, чем в случае простых газов, однако принципиально новых вопросов здесь не возникает; вывод коэффициентов переноса, включая коэффициенты диффузии и термодиффузии, проводится по той же схеме, что и в случае простых газов.
4.4. Приближение, основанное на средней длине свободного пробега
В предыдущих разделах дано законченное рассмотрение нарушений равновесного распределения в процессах переноса. Подводя итоги, мы можем сказать, что нарушения угло- ВЯЗКОСТЬ И ТЕПЛОПРОВОДНОСТЬ ГАЗОВ
