Оптические вычисления - Арратуна Р.
Скачать (прямая ссылка):
175
Лемма 6.6 [23]
Пусть f:Vn^>-V будет ММР-функцией. Функции, полученные перестановкой или
дополнением аргументов в f, или дополнением f, также являются ММР-
функциями.
Лемма 6.7
р-1
Пусть f:Vn^V является ММР-функцией, где f{X) = 2 gi (X).
i-i
Тогда f также является ММР-функцией и
7(X)=2g'i(X),
1=1
где gT(X)=l-g't(X), 1^л<р, т. е. g/ является двоичным дополнением к gi.
Доказательство: Умножим первое уравнение на (-1) и прибавим р-1 к обеим
частям.
На рис. 6.7 показаны примеры МР- и ММР-четвертичные функции.
Из определения 6.5 становится ясно, что реализация р-значных МР-функций
(что включает пороговые функции) сводится к р-1 уровневым ЛР-функциям. Но
ЛР-функции являются просто двоичными пороговыми функциями с р-значными
аргументами. Кроме того, двоичное пороговое кодирование имеет адекватную
(электро)оптическую реализацию [4, 5J. Учет этих факторов приводит к
выработке общей архитектуры МР-функций, показанной на рис. 6.8.
В данной архитектуре используются входные каскады схемы, включающие в
себя п-(р-1) двухканальных электроопти-ческих волноводных модуляторов
[5]. Любой х-сигнал должен быть подвергнут предварительной электронной
обработке, чтобы получить требуемый коэффициент разветвления по выходу
(р-1) и правильное изменение масштаба, чтобы добиться совместимости с
линейным динамическим диапазоном подсоединенных оптических устройств. Эти
волноводы будут выдавать выходной световой сигнал с амплитудой,
пропорциональной l^r/^rp, которая будет изменяться при введении в систему
р-1 линз. Выходной световой сигнал /-й линзы
П
представляет собой 2 XiWj,i. Чтобы выполнить необходимое i=l
(двоичное) пороговое кодирование, предлагается использовать нелинейные
оптические устройства [4]. Дополнительный входной сигнал будет необходим
здесь для смещения сигнала взвешенной суммы, обеспечивая компенсационную
точную настройку порогов и получение чистых логических 1 для всех X, где
значения соответствующих gi(X) являются истинными.
Нелинейные оптические устройства выдают на выход мультимножество р-1
функций gi, которые будут складываться
176
Часть II. Многозначная и пороговая логика
Рис. 6.8. а - общая модель построения р-значной МР-функции f в виде суммы
р-1 JlP-функций gi, gp-i; б - общая схема реализации р-значных МР-функций
в электрооптических устройствах. ДЭВМ - двухканальный элек-трооптический
волноводный модулятор.
посредством последней из линз в схеме, чтобы получить интенсивность
светового пучка, соответствующую f(X).
Двоичное пороговое кодирование может также выполняться электронным
способом с использованием, например, фотодиода. Сигналы, содержащиеся
теперь в виде электрического сигнала и представляющие вспомогательные
функции go могут суммироваться для представления f в виде электрического
сиг-
Г лава 6. Многозначная пороговая логика
177
нала. Данный сигнал в свою очередь может быть использован для модуляции
оконечного светового пучка с помощью другого волновода.
6.4. Перспективные разработки
Мультплинейные разделяющиеся функции фактически предлагают общий метод
реализации многозначных функций путем разложения по двоичным
вспомогательным ЛР-функциям. Далее эту идею можно развить, используя
"обобщенное разделение" следующим способом:
Пусть f:Vn->-V. Определим мультимножество следующим образом: G =
(g'(|g't: Р"^{0, 1}, gi является ЛР-функцией, 1^ при К^р. Определим Q :
Vn-+Vn\ Q=(qu <72, ~, qn), где qi:V^V, Если для всех X,
принадлежащих Vй,
выполняется
(Q (*))=/(*),
"=i
тогда можно сказать, что / выражается с помощью обобщенного разделения,
где Г - замкнутая форма определенных парных сочетательных процедур. С
геометрической точки зрения рассмотрим использование "-мерных
(необязательно параллельных) гиперповерхностей вместо гиперплоскостей.
Одна или более гиперповерхностей должны разделить некоторое множество /-1
(п) от соседнего /-1(и+1) (или от /-1(и+1)), так как полагаем К^р.
Наконец, для любого X и i значения gi(X) будут составлены соответственно
Г.
Некоторые из этих обобщений исследовались в абстрактном виде или в
контексте /2Е-технологии [23, 24, 25, 26]. Однако их приемлемость для
электрооптических систем еще предстоит исследовать.
Для того чтобы проиллюстрировать некоторые аспекты обобщенного
разделения, рассмотрим случай функции вычисления максимума. Без потерь
общности для ниже изложенного используем троичную логику и нормализуем ее
на интервале [О, 1], определяя Р={0, 0.5, 1}. Становится ясно, что
максимум не является МР-функцией. Однако, как показано на рис. 6.9, если
допустить существование двух вспомогательных ЛР-функций (вместо одной),
позволяющих разделить /-1 (0,5) и /-1 (1), то можно разложить f(X)
следующим образом:
где
gf. У2-*{0, 0,5}, /=1,2,3,
gi'-Wil 0 = ((1> 1); 0,25),
I 12-1254
Часть II. Многозначная и пороговая логика
х2
0 0,5 1
0,5 0,5 1
1 1 1
• : = 0 X := 0,5 О := 1
Рис. 6.9. Реализация функции определения максимума в четверичной логике с
