Оптические вычисления - Арратуна Р.
Скачать (прямая ссылка):
ограниченным динамическим диапазоном оптической обработки. На практике
удается получать, управлять и детектировать около 500 дискретных уровней.
Это ограничивает точность вычислений примерно 8 разрядами. Точность в 8
бит является удовлетворительной лишь в редких случаях, что особенно
проявляется в задачах с большим числом шагов, когда погрешности
накапливаются. Как хорошо известно из области применения ЭВМ, решение
должно быть представлено в цифровой форме. Каждое число представляют
последовательностью цифр, каждая из которых имеет очень маленький
динамический диапазон. а операции проводят над отдельными цифрами.
В работе [7] было показано, что умножение двух чисел эквивалентно
выполнению свертки над их цифровыми представлениями в том случае, если
результат операции свертки интерпретируется в смешанном формате, в
котором для основания числа Ъ отдельные цифры могут иметь величины,
большие чем Ъ. В общем, если возникает желание умножить по основанию Ь
два ^-разрядных числа, представленных в виде
Я N
где хп и ут - отдельные цифры, то результат выглядит так:
X- S ХпЪп~1, у- S УтЬт~1,
ху = S S Xnb^yjf1-1 =2 2 ХпУтЬ{п+т-г)-' =
где k = n-\-m- 1. Теперь рассмотрим цифры в числах х и у, представляющие
собой две выбранные функции, которые еле-
Глава 7. Оптическое умножение матриц
185
дует перемножить. Для выполнения свертки запишем цифры числа у в обратном
порядке и разместим их после цифр числа х. Первым значением свертки
является Х\у\, вторым Х\У2-{--\-х2у\ и т. д. до ХхУх; k-e значение
свертки может быть запи-
k
сано как 2 xnyk~n+i, что в точности является k-fi цифрой про-
п=1
изведения ху. Рисунок 7.1 является иллюстрацией к конкретному примеру.
Первый столбец показывает реализацию умножения 25x13 = 325, выполняемого
(по основанию 10) так, как этому обучают в начальной школе. Следует
обратить особое внимание на то, что когда получается число, большее 9
(как в случае 3X5=15), то цифры старшего порядка переносятся и
суммируются в соответствующих столбцах. Та же самая ситуация специально
показана в среднем столбце для тех, кто не обращал ранее внимания на
указанную процедуру. Операции переноса не были проделаны, а числа были
накоплены в каждом из столбцов. Окончательный правильный ответ, однако,
получается в том случае, если числа интерпретируют обычным образом, т. е.
2X100+11X10+15X1=325. Этот ответ представлен в записи со смешанным
форматом. Последний столбец показывает свертку, выполняемую для
последовательностей цифр у чисел 25 и 13. В данном примере число 13
перевернуто и сдвинуто (на дискретные шаги) за число 25. Перекрывающие
столбцы перемножаются и суммируются. Величины, получающиеся на трех
ступенях выполнения операции свертки, являются такими же, как и в среднем
столбце, что подтверждает эквивалентность свертки и умножения. Процесс
умножения с помощью операции свертки приобрел известность как алгоритм
цифрового умножения с помощью аналоговой свертки (ЦУАС).
В целом для заданного основания b число представляют с точностью в I
цифр, где каждая цифра изменяется от 0 до b-1. Если два числа, каждое
длиной I цифр, умножаются
Умножение
ножение - без переноса ~ Свертка
25 2 5 ? 5 "
13 1 3 3*1
75 гтг 15 -"-15
25 2 5 2 5
325 2 11 15 3 1
•325 6 5 -^11
2 5
3J____
г --г
Рис, 7.1, Три способа умножения (слева направо): обычная процедура, без
переноса цифр в разрядах, свертка,
186
Часть III. Систолические процессоры и логические матрицы
без арифметических переносов, то результат имеет длину 21-1 цифр, при
этом каждая цифра лежит в интервале от 0 до l(b- I)2. При электронном
способе вычисления выражений предпочтительным является представление
информации по основанию 2 (двоичный код). Это объясняется тем, что в
данном случае высока помехозащищенность и можно применять булеву алгебру.
Однако что касается оптических вычислений, то веских причин для выбора
основания 2 нет. Это объясняется непрерывным характером прохождения света
в различных средах. Наоборот, имеется соблазн рассмотреть другие, большие
по величине основания с целью уменьшения объема данных. Как показано в
[8], увеличение b позволяет снизить I ценой увеличения динамического
диапазона выходного сигнала. Например, число, требующее 16 бит по
основанию 2, потребует 8 бит по основанию 4 и 4 бит - по основанию 16.
Динамический диапазон выходного сигнала составит 16 по основанию 2, 72 по
основанию 4, и 900 по основанию 16. При переходе к основанию 16 был
превышен достижимый на практике предельный динамический диапазон
оптических систем (около 500). Однако даже в случае основания 4 начинает
уменьшаться помехозащищенность. По этим причинам, а также по практическим
соображениям обеспечения условий состыковки с электронными схемами
дальнейшая дискуссия будет ограничена рассмотрением двоичных чисел и
будет считаться, что в обозримом будущем оптические компьютеры будут
оставаться двоичными.
7.2.2. Оптические устройства, выполняющие свертку при операциях
