Оптические вычисления - Арратуна Р.
Скачать (прямая ссылка):
169
Следствие 6.3
Пусть / является таким, как указано в лемме 6.4. Пусть Ui\ V-+V, 1 = 1,
2, . . ., р-1 обладает тем свойством, что Ui(v) = = (, если у = 1-1 и
Ui'(v)-v для всех других v, принадлежащих V. Тогда Uif: (№; Т") во всех
случаях, где = если i=?i и ti" = ti- 1+е.
Лемма 6.5
Пусть f: (W; Т) является р-значной пороговой функцией. При этом пусть h
:Vn-+Vn является взаимно однозначным1* соответствием. Тогда f(h(X)) также
является пороговой функцией со структурой (Wh; Г), где Wh является
весовым вектором, полученным путем перестановки весовых коэффициентов в W
таким же способом, как элементы X переставляются под h.
Доказательство: Следует непосредственно из уравнения (1) и свойства
коммутативности суммы в W-X.
В качестве заключительного замечания к данному теоретическому основанию
следует напомнить, что авторы [18] доказали функциональную полноту
многозначной пороговой логики. Это означает, что любая многозначная
система может быть реализована только с помощью пороговых функций. Однако
это не означает, что многозначные системы следует реализовывать именно с
помощью пороговых функций.
6.2.2. Критические оценки возможностей
Многозначная пороговая логика, как можно убедиться на примерах,
приведенных на рис. 6.1-6.4, привлекательна тем, что она позволяет дать
простое представление нетривиальных функций. Более того, функциональная
полнота многозначной пороговой логики предоставляет возможность чисто
пороговой реализации сложных многозначных систем.
С другой стороны, многозначная пороговая логика выглядит достаточно
непривлекательно с позиции "комбинаторного взрыва" многозначных функций.
Известно, что в двоичном случае существуют 16 двухместных функций, из
которых 14 являются пороговыми. В троичном случае, однако, имеется уже 39
= 19 683 двухместных функций и (только) 471 из них являются пороговыми
[12]. В четвертичном случае имеется 416 двухместных функций (около 4,3-
109 функций), из которых только 18 184 являются пороговыми. При
рассмотрении функции трех переменных 104 из них (около 40% являются
пороговыми), в то время как из 7,6 -1012 троичных функций только 85 629
являются пороговыми [12]. В заключение отметим, что
!> В более строгом смысле - биективной (bijective) функцией (см. Кук Д.,
Бейз Г. Компьютерная математика: Пер. с англ. - М.: Наука, 1990, гл, 3),
- Прим. перев.
170
Часть II. Многозначная и пороговая логика
Ljf (X):
0 0 0 1
1 1 1 1
1 1 1 1
1 1 1 3
X = (Xj,х2)
W = (1 , 0.3) т = (0.75 , 3.74
3.75)
е = 0.01
Рис. 6.4. Пример сохранения пороговой разделимости при преобразовании
области определения.
f (X)-
6:
XL г с. с S ^2
0 0 0 0 0 0 О
0 1 0 0 1 1
0 2 0 0 2 2 2
1 Т 0 0 2 2 2
Л 2 О 1 С 3 0
2 2 0 1 1 4 1
1 1 1 1 0 3 О
1 2 1 1 1 4 1
2 2 т 2 5 2
У 1 Х2 + с п
У 2 У, - Зс
Рис. 6.5. а - схематическое изображение многоуровневого порогового
вентиля; б - схема построения троичного полного сумматора.
Глава 6. Многозначная пороговая логика
171
относительное число многозначных пороговых функций является
незначительным; тем не менее абсолютное число таких функций достаточно
велико, чтобы служить стимулом для поисков подходящих классов задач,
которые могут быть эффективно решены с помощью многозначной пороговой
логики. Хотя все это до сих пор представляет недостаточно проработанный
вопрос, уже сейчас имеются обнадеживающие результаты. Один из ярчайших
примеров эффективного применения многозначной пороговой логики - это
реализация р-значного полного сумматора, построенного на основе только
двух пороговых вентилей и показанного на рис. 6.5 для р = 3. (Для более
подробного ознакомления с вопросом следует обратиться к работам [9, 2Q].)
6.2.3. Многозначная пороговая логика и электрооптические устройства
Рассмотрим теперь реализацию пороговых вентилей с помощью оптических или
электрооптических устройств. Для непосредственной реализации пороговой
функции необходимо осуществить операции перемножения сигналов и весовых
коэффициентов, суммирования взвешенных сигналов и квантования взвешенных
сумм по отношению к набору заданных пороговых значений (в процессе,
названном "пороговым кодированием").
Проблема умножения может быть решена традиционным образом в гибридных
системах с помощью электрооптически моделируемых волноводов [3, 5, 21].
Данный процесс основан на управляемом эффекте поглощения оптического
носителя информации. Очевидно, что это ограничивает возможность
выполнения операции умножения лишь диапазоном величин от О до 1 (см.
лемму 6.1). Однако масштаб весовых коэффициентов и пороговых функций
может изменяться в любом желаемом диапазоне. (Наряду с этим может
потребоваться изменить масштаб для "подгонки" динамического диапазона
операции умножения к наиболее линейной части рабочей характеристики
модулятора.)
Сложение оптических сигналов представляет простую проблему и может быть
решено с помощью светоделительных элементов или линз.
Чтобы решить проблему порогового кодирования, в идеальном случае
