Оптические вычисления - Арратуна Р.
Скачать (прямая ссылка):
/. Отсюда для примера на рис. 6.1 получим, что /: ((1, 0,3); (0,75, 2,75,
3.75)).
Лемма 6.1
Пусть / является пороговой функцией со структурой (W\ Т). Тогда /: (kW\
kT) справедливо в случаях, где масштабный множитель k является целым
положительным числом.
Доказательство: Следует непосредственно из уравнения (6.1).
Лемма 6.2
Для всех xeV положим х - р-1-х. Более того, определим а¦: Vn-+Vn с otj=
(fPi, Р<2> • • •, Pin), 1 $ц(Х)=Х]
и $ц(Х)Х[. Пусть f:Vn^V является пороговой функцией со структурой (W;T).
Функция от функции / по любому а,• также является пороговой функцией и
имеет структуру (W^: Н*')),
где ад,-<г'> =-wi, wh(i) = wh и = -(р-1 )wit lsg;
S^j<p. k?=i.
Доказательство: Пусть 6(W, X) = S WjXj. Тогда W-X=
i*i
= 6{W,X)+WiXi. Пусть будет таким, что w^l)=-ш,- и Wh(i) = Wh для всех
k=?t=i. Отсюда следует, что
Wu'-at(X) = &(W, X) + wiU)~xi = 8(W, X) - wt (р- 1 - xi)
= 8(W, X) + wixi-(p-l)wi = W-X - (p-\)wi.
X2 ^
f(X)s
*5* о 1 2 3
0 о О О 1
1 1 1 1 1
1 1 1 2
3 2 2 2 3
X =" {Xj ,x2)
W = (1 , 0.3)
T = (0.75 , 2.75 , 3.75)
Рис, 6,1. Пример двуместной четырехуровневой пороговой функции.
166
Часть II. Многозначная и пороговая логика
Отсюда получаем
W-X - WU) -at (X) + (р- 1) wt.
Положим в данном случае tp - оо и t0 то можно записать
t}>W.X^t,.x
но
tj>W-X У tj_!
-оо. Так как / : (№; Т),
1,2, р,
tj> WU)-at (X) + (p - l)wiytj_1 <=>tj - {p- 1 )Wi > W'(i) -аг (X) >tj^-
~(p-
Определим = ^-(p-1 )wi, / = 0, 1, .. .,p. Тогда
tj> W-X> ¦<=>f/?) yW^-ai (X) > Vi.
Отсюда следует
¦ щ (X) > M of(X) = j-1
/ (a, (X)) = /-!,
¦1)аУг.
т. e. /a": (W&; TW).
На рис. 6.2 показана функция от функции /(as(X)), где / является
функцией, ранее изображенной на рис. 6.1.
Следствие 6.1
Пусть f:Vn-+V является пороговой функцией со структурой (W\ Т). Более
того, предположим, что некоторые ш, имеют отрицательные значения,
например Wi =-и, где ы>0. Тогда / реализуется в виде пороговой функции с
положительными весовыми коэффициентами, которую вычисляют, находя
дополне-
f Cor (X) ); х,' "У '
2 ч*-
О 1 2 3
0 1 0 0 0
1 1 1 1 1
1 2 2 1 1 1
3 3 2 2 2
<*2 (X) =
¦(2) = (2)
= (1 , -0.3)
= (-0.15 , -1 .85 , 2.85)
Рис. 6.2. Четырехуровневая пороговая функция, полученная из функции,
заданной на рис. 6.1 путем замены второго аргумента на его дополнение.
Глава 6. Многозначная пороговая логика 167
ния к соответствующим аргументам Xi и увеличив все пороги на величину (р-
1)".
Лемма 6.3
Пусть f: V^-^V является пороговой функцией со структурой (W; Т). Тогда f
также является пороговой функцией и имеет структуру (W", Т"), где W" = ¦-
W=(-wu -w2, ..., -wn) и T" = (-tp-i, . .., -ta, -U).
Доказательство:
(X) - (p- 1) - (/ 1) =P-/•
Умножая на (-1), получим -ti-1>-W.X = -t}o-f(X) = -(j- 1).
Пусть W" =- W и U"~-tp-1, l^fsgTp. Более того, прибавим p--1 к обеим
частям второго члена приведенного выше выражения. Это приводит к
Гр-и 1 > W'.x > fp_j^(p- i)-f(X) = {р-1)-(/- 1) of(X) = u-D = P-j,
т. е. f. (W"; Т").
Пример
Пусть f - функция, представленная на рис. 6.1. Тогда справедливо
следующее:
7: ((-1. -0,3); (-3,75; -2,75; -0,75)).
Следствие 6.2
Пусть f: Vn-+V является пороговой функцией со структурой (W; Т).
Двойственная функция, заданная как fd=fai<x,2...an, также является
пороговой функцией и имеет структуру (И7; Td), где для всех /, таких, что
1^/<р, справедливо равенство
tdj = (p- 1) S Wi - tp-j.
i=i
Доказательство
Следует непосредственно из лемм 6.2 и 6.3. Пример представлен на рис.
6.3.
Лемма 6.4
Пусть f:Vn-+ V является пороговой функцией. Ее структура (W; Т) при этом
удовлетворяет строгому варианту уравнения (6.1). Пусть Li\V-^V, i=0, 1,
2, ..., р-2, так что Li(v) = = i, если v = i+l и Li(v)=v для всех v,
принадлежащих V. Тогда Lif:(W• Т') справедливо для t/=tj, если /^Ц+1 и
168
Часть II. Многозначная и пороговая логика
t'i+i = ti+2-е (где е - положительная бесконечно малая величина).
Доказательство: Из определения Z,; и строгого неравенства для f
становится ясно, что
(Li/)-1(i+l)=0,
и (L!-/)-1(o) = /-1(u) V\{i, i+ 1}.
Другими словами:
Не существует X такого, что Lif(X) = i+l.
Для всех X, таких что f(X)=i или f(X)=i+l, Lif(X)=i. Иначе Lif(X)=f{X).
Если заменить элементы Т на соответствующие элементы Т' и f(X) на Lif(X)
в уравнении (6.1), то изменяется все выражения, кроме двух, а именно
t'i,2 >W.X^fhl^ Ltf (X) = i + 1,
fJ+1 <=^(Х) = 1\
Первое из них не имеет решений, так как по определению не существует X,
таких что Lif(X) =t+l- Левая сторона второго выражения соответствует
ti+2-e>W-X^ti и включает в себя все X, такие что f(X)=i-\-1 или f(X)=i;
но таковыми являются в точности все X, такие что Lif(X)=i. Отсюда
следует, что второе выражение является справедливым, что завершает
доказательство.
fd(X) :
о
2
3
X = (х),х2)
W = (1 , 0.3)
Td = (0.15 , 1.15 , 3.15)
Рис. 6.3. Двойственная функция, полученная из функции, показанной на рис,
6.1, и ее пороговая структура,
0 1 1 1
1 2 2 2
2 2 2 2
2 3 3 3
Глава 6. Многозначная пороговая логика
