Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
то говорят, что данные силы имеют силовую функцию U. В этом случае
У _dU dU dU
Х*—д.V ^ = ?"' (А= 1.2.....я).
Если система переходит из какого-нибудь положения P0 в какое-
нибудь положение P1, то сумма полных работ всех сил F1, F2.....Fn
определяется формулой
(P1)
§= f (XlOxl+ K1 dy, + Z1 dz, +
(P)
+ X2 dx2 + Y2 dy2 + Z2 dz2 +
+ Xn dxn + Yn dyn + Zn dzn) =
(P1) / dU%
(Po) ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
109
Работа равна, следовательно, приращению U1— U0, которое получает функция и, непрерывно изменяясь при переходе системы из первого положения во второе.
Если U есть однозначная функция координат, то значения U0 и U1 будут единственными. Полная работа ,всех сил в этом случае совершенно не будет зависеть от способа перехода системы из одного положения в другое.
88. Примеры. 1°. Даны две точки M1 и M2. Допустим, что действие точки M1 на точку M2 выражается силой F1, направленной по прямой M1M2. По закону равенства действия и противодействия действие точки M2 на точку M1 выражается силой F2, равной силе F1, но направленной противо- Ъ положно (рис. 62). Совокупность этих двух сил называется взаимодействием двух точек. Условимся называть алгебраическим значением F взаимодействия двух точек величину силы F1 или F2, взятую со знаком плюс или минус, в зависимости от того будут ли точки отталкиваться (как на чертеже) или притягиваться. Тогда, обозначая через г расстояние M1M2, мы получим для проекций сил F1 и F2 значения
H
F^=^. F^p^, (F1)
р Xl ~ -*3 F Уі ~ Уг F . (рл Рис. 62.
р ' /* * Г
Вычисляя сумму элементарных работ этих двух сил, называемую элементарной работой взаимодействия F, найдем
P
— [(X2 — X1) (dx2 — dxj) + (у2 — уJ (dy2—dyt) + (Z2-Z1) (dzz—dz^\.
Это выражение приводится к виду
Fdr
в силу очевидных соотношений
/* = (X2 — X1Y + (у2 — Уі? + (Z2 — Z1)2, Tdr = (x2-x1) (dx2—dxt) + Cy2- у,) (dy2—dy{) + (Z2-Z1) (dz^dzj.
Если, следовательно, взаимодействие двух точек есть функция только расстояния г между ними, а именно F = у (г), то сумма элементарных работ обеих сил F1 и F2 будет полным дифференциалом функции
U = J ср (г) dr. 110
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Так, в частности, для двух точек, притягивающихся с силами, пропорциональными их массам Wt1 и т2 и обратно пропорциональными квадрату расстояния между ними
P = -J--рг~. где / — постоянная, откуда
и = f HhHh. + const.
Предположим, что точки вначале были бесконечно удалены друг от друга, а затем приблизились на расстояние г. Тогда полная работа будет равна изменению функции U при переходе от первого поло-
J- ГПіШ')
жения ко второму, Т. е. /—.
2°. Пусть теперь дано произвольное число Точек AI1, M2, • ¦ •, Mn. Допустим, что любые две из этих точек Mi и Mk оказывают друг на друга взаимное действие, алгебраическое значение которого Fik есть функция только расстояния rik между этими точками. Если системе сообщить бесконечно малое перемещение, то сумма элементарных работ всех этих взаимодействий, согласно предыдущему, будет равна
2 Pik drik,
где суммирование распространяется на все попарные комбинации индексов і и ft, причем і Ф ft. Эта сумма является полным дифференциалом функции
U= j JiFik drik
и, следовательно, существует силовая функция. Например, для системы трех точек с массами т„ т2, тъ, притягивающих друг друга по закону пропорциональности массам и обратной пропорциональности квадратам расстояний, получается
р _ { mimk
rik — —J—г-'
гік
откуда с точностью до аддитивной постоянной
U =f( mImZ j m^m1 j Щт2 \
\ Г23 Г 31 Г13 /
Это значение U равно полной работе взаимодействий при переходе трех точек из положения, при котором они бесконечно удалены друг от друга, в положение, которое они действительно занимают. ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
111
УПРАЖНЕНИЯ
1. Какова размерность работы относительно основных единиц длины, времени и массы? (Если взять единицу длины в X раз меньшую, единицу времени в X раз меньшую и единицу массы в (а раз меньшую, то работа Ж будет (аХ2,с_23"')
2. Точка M притягивается или отталкивается двумя центрами О и Oi по закону обратной пропорциональности квадратам расстояний. Найти силовую функцию и исследовать поверхности уровня
и=±Л=г±^L=-].
OM O1M J
3. Упругая иить, длина которой в иерастяиутом состоянии равна /, прикреплена концом к неподвижной точке О и затем растянута до длины X > /. Найти работу иатяжеиия иити, когда оиа возвращается от длины X к первоначальной длине I. Допускается, что, когда иить имеет длину г, ее иатя-жеиие T пропорционально удлинению:
T = k(r — l).
Ответ:
Hk-If J- 2
4. Пусть
U-A arctg — В arctg Ь .
Ъ у I Ъ У- - п
Исследовать значение полной работы вдоль замкнутой кривой С. (Эта работа имеет вид ImnA -)- 1пъВ, где тил — целые числа.) Если А и В несоизмеримы, то кривую С можно провести таким образом, чтобы работа вдоль С сколь угодно мало отличалась от любой наперед заданной величины.
5. Оболочка ограничивает объем и газа, давление которого иа поверхность оболочки равно р. Допуская, что р зависит только от и, показать, что полная работа давления газа иа все элементы оболочки, когда его объем
