Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Г'
возрастает от V0 до V1, равна I р dv.
Va
Ответ. Разобьем поверхность иа бесконечно малые элементы, равные da\ иа каждый из этих элементов действует нормальное давление pda; когда объем увеличивается от и до и dv, элемент da принимает положение da'; если, следовательно, обозначить через в проекцию перемещения элемента da иа нормаль к нему, то элементарная работа давления р da будет
равна рв da, и совокупность элементарных работ давления будет p^Bda.
Но в da есть объем цилиндра, противоположными основаниями которого
служат da и da'. Следовательно, Jв da представляет собой приращение
полного объема. В таком случае совокупность элементарных работ равна р dv.
6. Сила F приложена к точке неизменяемой системы, которой сообщают элементарный поворот на угол 60 вокруг неподвижной оси Oz. Показать, что элементарная работа этой силы равна ArBO1 где N—момент силы F относительно оси Oz. 112
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
7. На точку M действует сила F, нормальная к неподвижной поверхности S. Обозначая через р расстояние от точки M до поверхности, отсчитываемое по нормали F, показать, что элементарная работа силы F равна ± F dp, где знак + или — берется в зависимости от того, стремится ли сила увеличить или уменьшить расстояние р.
8. Взаимодействие двух точек с массами т и т.', расположенных
на расстоянии г, равно F = —/ m^t . где /—постоянная (закон всемирного
Tl
тяготения Ньютона). Как изменится множитель / при изменении единиц?
ri
Ответ. Следует написать /= — F-во что обращаются F, г, т
и т' при изменении единиц известно. Тогда / обратится в /—г-. ЧАСТЬ ВТОРАЯ
СТАТИКА
ГЛАВА V
РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
I. Материальная точка
89. Свободная точка. Для того чтобы свободная точка была в равновесии, необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая R приложенных к ней сил была равна нулю, т. е. чтобы проекции X, Y, Z вектора R были равны нулю:
X=O, Y = О, Z = 0. (1)
Если в каком-нибудь положении М(х, у, г) подвергнуть точку M действию силы R, не сообщая ей при этом никакой начальной скорости, то начальное значение R может зависеть только- от х, у, z и t. Мы будем предполагать, что от t оно не зависит. Тогда три уравнения (1) определяют координаты положения равновесия. Если существует силовая функция U (х, у, z), то проекции X, Y, Z являются частными производными от U, и уравнения принимают вид
W-=»' ^=0' ®
Это как раз те уравнения, которые необходимо разрешить при нахождении максимума и минимума функции/ U от трех независимых переменных X, у, z. Мы покажем в динамике (гл. X) методом Лежен-Дирихле, что если функция U действительно имеет в точке M1^x1, уи. Z1) максимум, то эта точка является положением устойчивого равновесия. Это означает, что если материальную точку каким-нибудь образом отклонить бесконечно мало от положения M1 и сообщить ей бесконечно малую начальную скорость, то она получит движение, при котором она удаляется от положения M1 бесконечно мало.
Приближенное представление об этом можно получить следующим образом. Допустим, что в точке M1 функция U имеет максимум, значение которого равно U1. Вблизи точки M1 функция U меньше чем U1, и поэтому поверхность уровня будет
U=U1-B, 114
ЧАСТЬ ВТОРАЯ. СТАТИКА
где є — очень малая положительная величина, которая содержит замкнутую поверхность, окружающую точку M1 и непрерывно стягивающуюся в нее, когда є стремится к нулю (рис. 63, а). В каждой точке M этой поверхности сила нормальна к ней и направлена в сторону возрастания U, т. е. во внутрь. Она стремится, следовательно, помешать точке M удалиться от точки Mv
Если, наоборот, в точке M1 функция U имеет минимум и теперь U1 есть значение этого минимума, то поверхность уровня
U=U1-IrB (в— положительно)
будет по-прежнему содержать замкнутую часть, окружающую точку Mv Теперь в каждой точке M этой поверхности сила по-прежнему нормальна к ней, но направлена наружу (рис. 63, б). Эта сила стремится, следовательно, удалить точку M от точки M1, и равновесие в точке M1 неустойчиво.
Рис. 63.
Допустим, наконец, что в положении M1 три уравнения (2) удовлетворяются, но что соответствующее значение U1 не является ни максимумом, ни минимумом функции U. Тогда в окрестности точки M1 существуют две области AwB (рис. 63, в) такие, что в одной из них, например в А, функция U принимает значения, меньшие чем Uv а во второй В — значения, большие чем Uv Эти две области разделяются поверхностью уровня Е, на которой
U-U1 = O.
Эта, особая поверхность уровня Е, проходящая, очевидно, через точку M1, имеет в ней коническую точку, так как, согласно (2), в ней одновременно обращаются в нуль все три частные производные первого порядка функции U—Uv Если через є обозначить бесконечно малую положительную величину, то поверхности уровня
U=U1-B
расположены в области Лив этой области силы стремятся вернуть движущуюся точку в положение Mv Поверхности же
U=U1-IrB ГЛАВА V. РАВНОВЕСИЕ ТОЧКИ. РАВНОВЕСИЕ СИСТЕМЫ
115
находятся в области Бив этой области силы стремятся удалить движущуюся точку от точки M1, так как они направлены в сторону возрастания U. Следовательно, положение равновесия M1 неустойчиво.
