Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 43

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 205 >> Следующая


Z = — mg, U = — mgz + const.

2°. Сила, направленная по перпендикуляру, опущенному из точки Af на неподвижную ось, и являющаяся функцией расстояния от точки до этой оси, имеет силовую функцию.

Примем эту ось за ось Oz и обозначим через р расстояние AfQ от точки Af до оси и через Ф — значение силы, считая ее положительной в направлении QM (рис. 61,6'). Проекции этой силы будут

Х=Ф—, К=ф—, Z= 0.

P P 106

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

Так как р5 = Xі + у2 и, следовательно, р rfp = х dx + у dy, то для элементарной работы получаем выражение

Xdx + Ydy + Z dz = dx + у dy) = Ф dp.

По предположению, Ф зависит только от р, и поэтому элементарная работа есть полный дифференциал функции U (р), равной

U

= J Ф df.

Поверхностями уровня являются цилиндры вращения вокруг оси Oz. 3°. Наконец, существует силовая функция и для силы, направление которой постоянно пересекает неподвижную точку О и которая зависит только от расстояния движущейся точки до О (рис. 61, в).



Примем точку О за начало и пусть г — расстояние ОМ, a F—величина силы, которую мы будем считать положительной в направлении ОМ. Тогда проекции силы равны

„ X „ у cz

F —, /7-, F—, г г г

и элементарная работа имеет вид

F

— (х dx jT у dy Z dz) = F dr,

так как из соотношения Jc2 + у3 + г5 = г3 после дифференцирования получим X dx + у dy 4- Z dz = г dr. По предположению F зависит только от г, поэтому элементарная работа есть полный дифференциал функции U (г), равной

U = J Fdr.

Поверхностями уровня являются сферы с центром в точке О. В частности, если точка т притягивается к неподвижному центру О силой, обратно пропорциональной квадрату расстояния, то ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

107

где Jjt_положительный коэффициент, так как сила, направленная в сторону МО, отрицательна. Тогда

U



В этом примере полная работа силы, когда точка переходит из бесконечно удаленного положения M0 в положение Mi, расположенное на расстоянии гх от притягивающего центра О, будет

S- = U1-U0 = -^-.

' і

Все три предыдущих закона сил являются частными случаями следующего. На точку M действует сила, направленная по нормали MP к некоторой неподвижной поверхности S, и величина силы есть функция длины MP этой нормали. Тогда существует силовая функция, зависящая только от MP, и поверхности уровня параллельны поверхности S. Доказательство этого общего случая предлагается в качестве упражнения (упражнение 7).

4°. Если на материальную точку одновременно действуют несколько сил указанных выше типов, то силовая функция по-прежнему существует. Это вытекает из следующей теоремы.

Если силы F1 и F2, действуя на точку по отдельности, имеют силовые функции U1 и U%, то при одновременном действии этих сил будет также существовать силовая функция, равная U1 + U2-

В самом деле, пусть

У _dUr du, dUx

1 дх~' Zl-~dT

— проекции первой силы, X,=

du і v _ dU2 7 _ dU2

dx • dy ' 1 dz

— проекции второй. Проекции равнодействующей будут, очевидно,

d (U1 + U9) у_ д (U1 + U2) z d(Ux + U2) dx ' dy ' dz '

что и доказывает высказанное предложение.

85. Замечание о поверхностях уровня. Если поверхности уровня определены только геометрически, а не их уравнением U = const, то закон силы полностью не определяется. В самом деле, пусть V(x, у, Z)—некоторая функция, сохраняющая постоянные значения на поверхностях уровня. Тогда силовая функция будет непременно иметь вид

U =T(V),

где ср — произвольная функция, и для закона силы имеем:

X= (V)^, Y = ?'(Vo4f. z = T'oo4j?.

Так как функция V произвольна, то мы приходим к выводу, что на одной и той же поверхности уровня сила определяется лишь с точностью др произвольного постоянного множителя. Например, из 108

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

того обстоятельства, что поверхностями уровня являются сферы с центром в точке О, следует, что сила пересекает точку О и является функцией расстояния от движущейся точки до точки О.

86. Мощность. Мощностью машины называют количество работы, которое она производит за единицу времени.

Единица мощности. В системе CGS единицей мощности является эрг/сек. Это — мощность машины, которая в секунду производит один эрг работы..

Лошадиная сила. В технической системе единицей мощности является лошадиная сила. Это — мощность машины, производящей в одну секунду 75 килограммометров работы.

II. Система точек

87. Работа сил, приложенных к системе точек. Силовая

функция. Пусть на п точек M1 (X1, ylt Z1), M2 (х2, у2, Z2),..., Mn (хп, уп, zn) действуют силы, причем равнодействующая сил, действующих на первую точку, есть F1 (X1, Y1, Z1), на вторую —

F2(X2, Y2, Z2), и т. д. Сумма элементарных работ сил F1, F2.....Fn

на бесконечно малом перемещении системы равна X1 dx, + K1 dy, + Z1 dz,+

+X2dx2 + Y2 dy2 + Z2 dz2 +

+..........+ (1)

+ Xn dxn + Yn dyn + Zn dzn.

Когда силы зависят только от положения системы, т. е. когда X1, Y1, Z1, X2, Y2, Z2, ... являются функциями от Jf1, уи Z1, х2, у2, z2, ..., хп, уп, Zn и выражение (1) есть полный дифференциал некоторой функции U переменных jc1, уи Z1, X2, у2, Z2.....jcn, уп, Zn,
Предыдущая << 1 .. 37 38 39 40 41 42 < 43 > 44 45 46 47 48 49 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed