Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 41

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 205 >> Следующая


~=fW(q)dq,

Зо

которая и позволяет вычислить JT.

Если ту же самую кривую точка пробегает в противоположном направлении, от AI1 к M0, то полная работа станет равной —JT, так как пределы интегрирования поменяются местами.

82. Частный случай, когда JT зависит только от начального и конечного положений. Силовая функция. Потенциальная энергия. Допустим, что X, У, Z являются функциями ОТ X, у, Z, непрерывными и допускающими частные производные первого порядка во всех точках области пространства, в которой расположены все

рассматриваемые кривые. Выясним, какими должны быть функции

Х(х, у, z), У(х, у, z), Z(x, у, z)

для того, чтобы полная работа на конечном перемещении зависела только от начального и конечного положений M0 и AI1 и не зависела от формы кривой, по которой перемещается точка. рис 57 Возьмем сначала две бесконечно

близкие точки M0 и M1, лежащие в плоскости, параллельной ху (рис. 57), причем координаты точки M0 равных, у, z, а координаты точки AI1 равны x-\-dx, y-\-dy, z. Переведем движущуюся точку из положения AI0 в положение AI1, перемещая ее сначала параллельно оси Ox на отрезок длиною dx в положение AI', а затем параллельно оси Oy на отрезок dy в положение M1. Элементарная работа на перемещении AI0AI' равна Х(х, у, z)dx. В положении M' сила будет иметь значение F' и проекцию на ось Oy, равную Y(x-\-dx, у, z). Элементарная работа силы F' на перемещении M'AI1 равна, следовательно, Y(x-\-dx, у, z)dy. Отсюда для полной работы на перемещении AI0AI7AI1 получаем

& = Х(х, у, z)dx-\- Y(x + dx, у, z)dy. ГЛАВА IV. РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ

101

Если сначала переместить точку параллельно Oy на отрезок dy в положение М", а затем параллельно Ox на отрезок dx из М" в Mv то для работы получим

&=Y(x, у, z)dy + X(x, y + dy, z)dx.

Мы желаем, чтобы оба эти значения S были равны. Приравнивая их и замечая, что

Y(x + dx, у, z)=Y(x, у, z) + ^dx,

Х(х, y + dy, z) = X(x, у, z)+™dy.-

после очевидных преобразований получим

dY __ дХ дх ду '

Поступая аналогичным образом в плоскостях, параллельных другим координатным плоскостям, получим два других необходимых условия

dZ ^ dY дХ _ dZ ду дг ' дг дх '

Эти условия показывают, что выражение

Xdx-\-Y dy + Zdz

есть полный дифференциал некоторой функции U независимых переменных X, у, Z. Покажем, что эти условия являются также и достаточными, по крайней мере при некоторых ограничениях, которые мы укажем.

В самом деле, если эти условия выполнены, то будет существовать тождество

Xdx+ Ydy-j-Zdz = dU(х, у, г), из которого вытекают три других:

v—du V—dU 7 — ^L л — дх ' ~ду" дг'

Функция U, определенная с точностью только до произвольной аддитивной постоянной, называется силовой функцией. Говорят также, что в этом случае силы имеют потенциал-, величина —U называется потенциальной энергией.

Полная работа силы F, когда точка переходит из M0 в M1 вдоль кривой С (рис. 58), будет тогда

(ж,) (M1)

§= J Xdx-\-Y dy + Zdz= J dU =U1-U0,

(М„) (Ma) 102

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

Рис

где U1— конечное значение, которое принимает функция U в положении AI1 при непрерывном ее изменении вдоль кривой, a U0 — начальное значение функции U в положении M0.

Следовательно, если в рассматриваемой области пространства U является однозначной функцией от х, у, г, имеющей единственное значение в каждой точке этой области, то U0 и U1 будут вполне определенными и полная работа JT не будет зависеть от пути, по которому точка переходит из M0 в M1. В частности, если точка описывает замкнутый путь, то M1 совпадает с M0 и тогда полная работа равна нулю.

Но если функция U является многозначной, как, например, арктангенс, то полная работа не будет абсолютно не зависящей от пути перехода точки из M0 в M1. Она будет меняться в зависимости того, какое из значений U мы должны будем в силу непрерывности принять в точке M1, когда будем исходить из определенного значения U0 в точке M0. Можно также сказать, что в этом случае полная работа по замкнутому контуру не будет обязательно равна нулю. Эти два способа выражения будут, впрочем, идентичны, так как, если рассмотреть два пути С и С' из M0 в M1 и обозначить через |Г и §' полную работу на конечных перемещениях AI0CAI1 и AI0CAI1, то полная работа на замкнутом перемещении AI0CAf1C7Af0 будет равна § — Следовательно, если § = §', то полная работа равна нулю, а если § ф §', то не равна нулю.

у

Пусть, например, U = arctg-^-. Проекции силы F, равные

X=-

от

-*2 + У3 '

Y =



Z = о,

Рис. 59.

являются непрерывными дифференцируемыми функциями во всей части пространства, расположенной вне кругового цилиндра сколь угодно малого радиуса, ось которого совпадает с осью Oz (рис. 59). Функция U есть угол хОР, образованный осью Ox с проекцией OP радиуса-вектора OM на плоскость ху. Поэтому, если движущаяся точка описывает замкнутую кривую МСМ, не окружающую ось Oz, то полная работа равна нулю, так как функция U при непрерывном изменении вдоль контура С принимает в точке M свое первоначальное значение. Но если точка описывает замкнутую кривую МС'М, окружающую один раз в положительном направлении ось Oz, то изменение функции U будет равно 2я, и полная работа будет также равна 2я. Если точка совершит вокруг оси Oz в положительном направлении п оборотов, то полная работа будет равна 2пп.
Предыдущая << 1 .. 35 36 37 38 39 40 < 41 > 42 43 44 45 46 47 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed