Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Абсолютный вес одного грамма в Париже равен 980,8 дин, так как такой абсолютный вес сообщает массе в 1 грамм ускорение 9,808 м/сек2, т. е. 980,8 см/сек2.
75. Статическое измерение сил. Система мер, при которой за единицу принят абсолютный вес, была первой, вошедшей в упо- ГЛАВА III. ОСНОВНЫЕ ЗАКОНЫ МЕХАНИКИ
95>
требление. Это вызвано было тем, что первое представление о силе человек составил по тому усилию, которое он должен был делать, чтобы удерживать какой-нибудь груз рукой. Отсюда сравнение сил с весом. Это сравнение может быть сделано вполне точно при помощи динамометра. Возьмем вертикальную пружину, удлинение которой может быть измерено при помощи делений. Подвесим к этой пружине в Париже веса' в 1 кг, 2 кг, ... и отметим соответствующие удлинения. Тогда для измерения произвольной силы, действующей на материальную точку, мы можем закрепить эту точку на конце пружины, установить ось пружины по направлению силы и отметить соответствующее удлинение. Мы получим тогда величину силы в килограммах.
Это статическое измерение сил является очень важным, так как оно показывает, что основное соотношение
выражаемое уравнениями (1), не является простым тождеством-Возьмем, например, материальную точку, на которую действует сила, зависящая только от ее положения. Придавая точке различные положения и измеряя статически силу в каждом из этих положений, мы сможем узнать закон изменения силы в зависимости от положения точки. Аналитически мы узнаем проекции X, Y, Z силы в функции координат ж, у, z точки. Если потом отпустить точку и подвергнуть ее действию указанных сил, то она придет в движение, уравнения которого в конечной форме получатся после интегрирования уравнений (1). В этих уравнениях проекции X, Y, Z являются известными функциями координат х, у, z.
76. Однородность. Если для приложений имеется необходимрсть в выборе определенных единиц, то для теории в этом нет надобности. В теоретических исследованиях целесообразнее оставлять основные единицы неопределенными, с тем чтобы получаемые формулы могли быть применены при любой системе единиц. Так как формулы должны оставаться верными при любом выборе трех основных единиц, то они должны обладать троякой однородностью относительно длины, времени и массы. Пусть I — длина, t — время, т — масса, v — скорость, j — ускорение, /—сила, измеренные в какой-нибудь системе основных единиц длины, времени и массы. Если теперь принять единицу длины в X раз меньшую, единицу времени в т раз меньшую и единицу массы в |х раз меньшую, то мерами только что указанных величин станут
так как скорость есть отношение длины ко времени, ускорение — отношение длины к квадрату времени, а сила—; произведение ускорения на массу. Следовательно, если основные единицы не
F — mJ,
l\, tx, т\х, V — , f-
T Tj Tj 96
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
установлены, то формулы должны оставаться справедливыми при любых значениях множителей X, [а, -с.
Например, полупериод малых колебаний простого маятника длины I в месте, где ускорение тяжести равно g, определяется формулой
/=«-/т. " g
Если изменить единицы указанным выше способом, то получится т. е. формула
не изменяется. Следовательно, она действительно
однородна.
УПРАЖНЕНИЯ
1. Установить формулы перехода от системы единиц метр, секунда, килограмм-сила в Париже к системе COS.
2. Предполагая известным, что период малых колебаний простого маятника зависит только от длины I и ускорения g:
t = ?v, g),
показать, исходя из условий однородности, что t имеет вид
" g
где k — отвлеченное число (k = 2л).
3. Предполагая, что скорость v тяжелого тела, предоставленного самому себе и падающего в пустоте без начальной скорости, зависит только от высоты падения h и ускорения g:
V = Ч> (A, g),
показать, что v имеет вид
v—k У gh,
где k — отвлеченное число.
4. Зная, что скорость звука в газе есть функция только упругости е газа и его плотности d, показать, что она определяется формулой
V = kV І-
где k — отвлеченное число (k — отношение теплоемкостей газа при постоянном давлении и постоянном объеме). Упругость — это давление газа на единицу поверхности, а плотность — масса газа в единице объема. ГЛАВА IV
РАБОТА. СИЛОВАЯ ФУНКЦИЯ
Прежде чем излагать статику, целесообразно ввести понятие первостепенной важности о работе силы.
I. Материальная точка
77. Элементарная работа. Пусть к материальной точке M приложена сила F. Допустим, что эта точка получает какое-нибудь бесконечно малое перемещение MM' (рис. 55). Тогда элементарной работой силы F на перемещении MM' называют скалярное произведение F на MM': M
F • MM' • cos (FMM'), (1)
т. е. произведение силы на перемещение и на косинус угла между направлением силы и направлением перемещения. Эта элементарная работа является алгебраической величиной, положительной, отрицательной или Рис. 55. равной нулю, в зависимости от того, будет ли угол FMM' острым, тупым или прямым. Когда элементарная работа положительна, силу называют движущей, а когда отрицательна — сопротивлением. Если перемещение MM' совершается за бесконечно малый
