Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
'; Е. Study, Geometrie der Dynamen, Leipzig, 1903 (первый выпуск вышел в 1901). 52 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ понятия
3. Взаимность в теории векторов. Возьмем мнимую сферу -Г5+у2+.г2+ + I=Oc центром в точке О и вектор P1 с проекциями Xu Y1, Z1 и моментами L1, Mh N1. На прямой, сопряженной с P1 относительно сферы, построим вектор P1 с проекциями X1=L1, Y1 = M1, Z1= N1. Это возможно, так как направление L1, Mb Ni перпендикулярно плоскости OP1. Показать, что имеется взаимность между векторами P1 и Pv т. е. что P1 лежит на прямой, сопряженной с P1, и что его проекции равны моментам вектора P1, а именно: X1 = Lr1, Y1 = M1, Z1 = N71 (преобразование Клейна, в частном случае указанное Кёнигсом).
4. По предыдущему преобразованию системе векторов (S) отвечает некоторая система (S')- Показать, что главный момент одной системы относительно точки О равен главному вектору второй системы.
5. Если одна из предыдущих систем (S) или (S') приводится к паре, то другая приводится к вектору, проходящему через точку О, и наоборот.
6. Найти пространственные кривые, касательные к которым являются прямыми, относительно которых момент равен нулю. Если принять за ось г центральную ось системы, то дифференциальное уравнение этих кривых имеет вид
fdz = xdy — у dx,
где /— параметр винта. Показать, что наиболее общая кривая, удовлетворяющая этому уравнению, определяется уравнениями
Z = f (6), Jf = Vff' (6) COS 6, у = YfY (в) Sin в,
где <р — произвольная функция от 6.
7. Показать, что соприкасающаяся плоскость какой-нибудь кривой предыдущей задачи имеет фокус в точке соприкосновения.
8. Можно бесчисленным множеством способов образовать систему из двух векторов F и Ф, эквивалентных заданной системе векторов и таких, что F и Ф взаимно перпендикулярны. Показать, что прямые F и Ф образуют комплекс второго порядка. К этому же комплексу придем, отыскивая комплекс, образованный главными моментами относительно всех точек пространства.
9. Если два вектора F и Ф эквивалентны заданной системе, то их общий перпендикуляр пересекает центральную ось этой системы нормально к ней.
10. Даны несколько пар и их результирующая пара. Показать, что площадь проекции параллелограмма, построенного на векторах результирующей пары, на какую-нибудь плоскость равна алгебраической сумме площадей проекций параллелограммов, построенных на векторах составляющих пар.
11. Пусть P', Р", ..., Р'4'—векторы, образующие систему, эквивалентную нулю, и, соответственно, M', М", ...,M^—моменты какой-нибудь другой системы (S) векторов относительно осей P', Р", ..., Pi-kK Доказать соотношение
P'M' + Р"М" + ... + р^)М(к) = 0.
Следует доказать сначала теорему для одного вектора P системы (S), воспользовавшись равенством нулю главного момента векторов P', Р".....Р'4'
относительно Р.
12. Барицентрические координаты Мёбиуса. Пусть ^4^2-^3-^4 — некоторый тетраэдр. Барицентрическими координатами точки M называют алгебраические значения P1, P2, Ps, Pi четырех параллельных векторов, которые необходимо приложить к вершинам A1, A2, A3, Ai для того, чтобы центр этих параллельных векторов совпадал с точкой М. Показать, что: ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•53
Каждой точке M отвечают значения Pu P2, Ps, Pi, определенные с точностью до общего множителя. Линейное однородное уравнение относительно Pi. Pg. Рг< Pi определяет плоскость, расстояния которой от четырех вершин пропорциональны коэффициентам при P1, Pa P3, Pi. Если эти коэффициенты равны, то плоскость уходит в бесконечность. Поверхность порядка т представляется однородным уравнением т-го порядка относительно P1, P2, P3, Pi.
13. Найти результирующий винт двух взаимно перпендикулярных сходящихся винтов.
Решение. Примем прямые, на которых лежат винты, за оси х и у к прямую, к ним перпендикулярную, за ось г. Пусть X—вектор, а X— параметр винта, лежащего на оси Ox (рис. 28). Тогда L = \Х. Обозначая через Mr Y, (і аналогичные величины для второго винта, имеем M = (лК
О'
Рис. 28.
Пусть R— сумма векторов X и Y, a G — сумма моментов LmM. Тогда уравнение центральной оси всей системы будет
IX+ zY _ iiY—zX _ — xY+yX X ~ Y ~ О Эта ось параллельна OR и пересекает Oz в точке О', для которой
_ Q- X) XY z— X1 + Y* '
Пусть OrR' — эта ось. Обозначим через R' и Gr главный вектор »
главный момент системы относительно О'. Имеем Rr = R. Нужно найти Gr
„О' U
или лучше отношение К = -п7-> т- е- параметр результирующего винта. Но от-
R
ношение Gr к Rr равно отношению их проекций Lr и X на ось х. Таким, путем находим:
Lr=\X + zY, K= ^2 уъ •
Результирующий винт вполне определен.
14. Найти геометрическое место результирующих винтов OrRrGr предыдущего упражнения, когда параметры X и (л слагаемых винтов остаются постоянными, а их векторы X и Y изменяются по модулю. Искомая поверхность есть коноид
*(.*» +у«) = (Ji-X)Jcy. Кэйли назвал этот коноид цилиндроидом. Болл показал, что этот коноид имеет с цилиндром то общее свойство, что геометрическое место проекций произвольной точки на образующие есть плоская кривая. Можно 54
