Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Аппель П. -> "Теоретическая механика " -> 20

Теоретическая механика - Аппель П.

Аппель П. Теоретическая механика — М.: ФИЗМАТЛИТ, 1960. — 515 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriticheskayamehanika1960.pdf
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 205 >> Следующая


Если для системы параллельных связанных векторов существует результирующий вектор, то момент результирующего вектора относительно плоскости равен алгебраической сумме моментов составляющих векторов при условии, что этот результирующий вектор приложен в центре параллельных векторов.

Для доказательства предположим сначала, что ось Oz перпендикулярна к плоскости II. Тогда координата z центра параллельных векторов определяется формулой

РГт = ЛіР kzk,

где P=J Pk. Но эта формула как раз и выражает доказываемую теорему.

Если ось Oz наклонена к плоскости П, то можно взять вспомогательную ось Oz', нормальную к плоскости и образующую с осью Oz угол а. Обозначим через z'v z'2, ..., z'n, С координаты z точек приложения, отсчитываемые параллельно этой новой оси, т. е. нормально к плоскости. По предыдущему имеем:

P-=JPA-

Но координаты z' и z связаны очевидными соотношениями ^ = Z1Cosa, Z2 = Zicosa, C = Ccosa, 48

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

что после подстановки и приводит к искомому соотношению

PC = 2 PkzIr

Таким образом, теорема моментов доказана в общем виде.

Прилагая эту теорему к трем плоскостям косоугольной системы координат, мы получим для определения координат т), С центра параллельных векторов в косоугольной системе те же формулы, что и в системе прямоугольной.

Примечание I. Теорема моментов относительно плоскости tnpa-ведлива лишь в том случае, когда ^ Pk ^ 0.

Если 2 Pk = 0, то теорема не справедлива, так как результирующий вектор обращается в нуль, и центр параллельных векторов уходит в бесконечность. Исключение будет в еще более частном случае, когда векторы находятся в астатическом равновесии:

P = O,

2 PitXit= 0, 2^* = 0- 2 p^ft =

В этом случае координаты 6, -rj, С неопределенны и теорема применима.

Примечание II. В частном случае, когда все векторы направлены в одну сторону, центр параллельных векторов лежит внутри любой выпуклой поверхности, окружающей точки приложения составляющих. В самом деле,

примем направление заданных векторов P1, P3.....Pn за положительное,

касательную плоскость П к поверхности — за плоскость лгу и в качестве оси Oz — перпендикуляр к этой поверхности, направленный в ту же сторону, что и поверхность (рис. 26).

Тогда координаты z всех точек приложения векторов будут положительными, и равенство

C =

Рис. 26.

2 2 ^

показывает, что и координата С также положительная. Таким образом, центр параллельных векторов расположен по -отношению к произвольной касательной плоскости по ту же сторону, что и поверхность и, следовательно, находится внутри ее.

33. Векторные производные. Пусть OM (рис. 27) — связанный вектор, приложенный в фиксированной точке О. Допустим, что этот вектор зависит от некоторой переменной и таким образом, что если и изменяется непрерывно, то и конец M перемещается также непрерывным образом. Можно тогда говорить, что этот вектор есть непрерывная функция переменной и. Пусть OM и OM1 — векторы, соответствующие значениям и и u-\-Au переменной, причем Ди предполагается положительной. Соответствующее геометрическое приращение вектора есть геометрическая разность (OM1) — (ОМ). ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ

•49

т. е. вектор, равный MM1. Отношение этого приращения к приращению переменной есть вектор

Au

имеющий ту Же линию действия и то же направление, что и вектор AlM1.

Когда Ди стремится к нулю, вектор MM1 стремится к некоторому предельному вектору MD, касательному к кривой, описываемой точкой М. Этот предельный вектор называется векторной производной вектора OM по и.

Аналитическое определение векторной производной. Возьмем оси Oxyz с началом в точке О. Координаты х, у, Z точки M суть проекции вектора OM на эти оси, причем проектирование на какую-нибудь ось производится параллельно плоскости двух других осей. Величины X, у, z являются функциями от и.

Когда и получает приращение Ди, то точка M переходит в M1 и X, у, z получают приращения Дх, by, Дг. Так как вектор MM1 имеет проекции Дх, Ду, Lz, то вектор MB, равный отношению MM1 к Ди, имеет проекции

Ax Ду Д г Д и' Да ' Au '

Полагая, что Ди стремится к нулю, мы видим, что проекции производного вектора MD суть производные

dx dy dz du' du' du

проекций первоначального вектора.

VI. Полярные векторы. Аксиальные векторы.

Скалярные величины

34. Характер симметрии вектора. Величины, изображаемые векторами, могут представлять собою два вида симметрии. С этой точки зрения они подразделяются на векторы полярные и векторы аксиальные.

Полярные векторы. Вектор A1B1 называется полярным, если представляемая им физическая величина симметрична относительно всех плоскостей, проходящих через A1Bv но не симметрична относительно плоскости, перпендикулярной к A1B1. Так, например, скорость и ускорение представляются полярными векторами. Можно сказать, что симметрия полярного вектора A1B1 будет такого же 50

ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ

вида, как и симметрия параболоида вращения вокруг оси A1B1. Выбор направления осей и положительного направления вращения не содержится в определении полярного вектора.
Предыдущая << 1 .. 14 15 16 17 18 19 < 20 > 21 22 23 24 25 26 .. 205 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed