Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Обозначим, как и раньше, через а, ?, f направляющие косинусы прямой, параллельной векторам, через Pv P2, ..., Pn-их алгебраические величины, считаемые положительными в направлении а,
?, f, и через xv yv Z1, х2, у2, Z2.....хп, уп, Zn - координаты
точек приложения этих векторов. Проекции Xk, Yk, Zk вектора Pk суть аРк, ?Pfc, fPfc. Мы показали (п. 29), что результирующий вектор такой системы параллельных скользящих векторов им параллелен, имеет алгебраическое значение, равное
P = P1 +Pt+ ... +Pn = IiPk'
и проекции X, Y, Z, равные величинам аР, ?P, 7Р, и, наконец, что он лежит на центральной оси D, определяемой уравнениями
Pt* { }
где
t IiPkXk ІРкУк . IiPkZk _
Предположим теперь, что векторы Pk связаны со своими соответствующими точками приложения хк, yk-, Zk, рассматриваемыми как вполне определенные, и не могут скользить вдоль своих линий действия. Тогда точка С, координаты которой выражены уравнениями (С), будет вполне определенной. Эта точка называется центром заданной системы параллельных векторов, связанных со своими точками приложения. Переместим теперь результирующий вектор P вдоль оси D, пока его точка приложения не совпадет с С, и будем считать его вектором, связанным с точкой С. Полученный таким образом результирующий вектор, связанный с точкой С, называется результирующим вектором системы параллельных связанных векторов.
Таким образом, если параллельные связанные векторы имеют отличную от нуля геометрическую сумму, то результирующий вектор будет равен этой сумме и связан с центром заданной системы параллельных связанных векторов. 46
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Формулы (С), определяющие координаты Sj, т], С центра С параллельных связанных векторов, показывают, что центр системы параллельных связанных векторов не зависищ, от а, ?, 7, т. е. от общего направления этих векторов; он зависит исключительно от их точек приложения (xk, yk, zk) и от отношений их величин P1, P2, ¦ • ¦ • Pn- Зависимость точки С только от отношений величин векторов вытекает из того обстоятельства, что
выражения для I, т], С однородны относительно P1, P2.....Pn,
причем порядок однородности равен нулю. Полученный результат можно сформулировать следующим образом: Если'изменить общее направление параллельных векторов, связанных с их точками приложения, и одновременно пропорционально изменить их величины, то и результирующий вектор, который им параллелен, изменится в том же, отношении, но останется приложенным в центре этих параллельных векторов.
Замечание к случаю, когда HiPjt = O. Если сумма векторов
P = HiPk равна нулю, но три суммы 2 PuxIc 2 РкУк> 2 Pkzk не обращаются в нуль одновременно, то центр С параллельных связанных векторов уйдет в бесконечность, так как тогда по крайней мере одна из координат т\, С становится бесконечной. В этом случае точка С не существует.
Если одновременно
то координаты т], С будут неопределенными и, следовательно, центр параллельных связанных векторов будет неопределенным.
Пример. Легко найти, в качестве примера, элементарные свойства двух параллельных векторов, связанных с двумя точкаЖи A1 и A2 и имеющих алгебраические значения P1 и P2. Когда P1 -(- P2 отлично от нуля,
система имеет результирую-P2 щий вектор, т. е. эквивалент-
ов отношение двух отрезков AA1 и AA2, как обычно принято в геометрии, считается положительным, если отрезки имеют одинаковые направления, и отрицательным, — в противном случае.
В частном случае, когда P1 + P2 = 0, эти векторы численно равны и противоположно направлены. Центр этих параллельных векторов не существует. Эти векторы в общем случае образуют пару, если только они не прямо противоположны. Если P1-I-P2 = O и оба вектора приложены в одной точке, то центр параллельных векторов будет неопределенным.
2я»=о, HlPkXk = о, НРкУк=0, HlPltZll = о,
на одному вектору, имеющему алгебраическое значение P= = P1 + P2 и приложенному в точке А (центре двух параллельных векторов) (рис. 24), определяемой соотношением
AA1 _ P1 AA2 _ P,''
Рис. 24. ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•47
(рис. 25). Mo-Pr
Рис. 25.
32. Моменты параллельных связанных векторов относительно плоскости. Формулы для координат ч], С центра параллельных связанных векторов, если их перевести на язык геометрии, приводят к теореме моментов относительно плоскости.
Пусть даны произвольно направленная ось Oz и плоскость П, которую всегда можно принять за плоскость хОу ментом какой-нибудь из параллельных геометрических величин относительно этой плоскости П называется произведение PkZk алгебраического значения Pk указанной величины на координату Zk ее точки приложения. Это понятие введено Монжем («Курс элементарной статики», Париж, 1786).
Определенный таким образом момент есть величина положительная, отрицательная или равная нулю, значение которой зависит от точки приложения геометрической величины, так что этот момент изменяется,
если указанную величину переносить вдоль ее линии действия. Основное свойство, вытекающее из этого определения, будет следующим:
