Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Мы увидим дальше, как определяется абсолютное ускорение при помощи аналогичной формулы, но с добавочным членом. Однако прежде мы дадим некоторые приложения предыдущей теоремы.
46. Сложение поступательных движений. Рассмотрим неизменяемую систему (Si), движущуюся поступательно со скоростью K1, и вторую систему (S9), движущуюся поступательно относительно (S1) со скоростью V2 (рис. 40)."
Абсолютная скорость Va какой-нибудь точки M системы (S2) есть геометрическая сумма относительной скорости этой точки, которая равна V2, и ее переносной скорости, равной V1. Абсолютные скорости различных точек (S3) будут, следовательно, такими, как если бы (S2) совершала только одно поступательное движение со скоростью, равной геометрической сумме двух скоростей V1 и V2. Говорят, что
ростью, равной результирующей скорости всех скоростей заданных поступательных движений.
47. Совокупность двух вращений. Пусть тело S1 совершает вращение Л]». Вообразим, что это тело Si содержит ось A2и что некоторое тело S2 совершает относительно S1 вращение о>2 вокруг оси А2и>2 (рис. 41).
Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки M тела S2. Относительная скорость точки M относительно тела Si есть скорость, которой она обладает во вращении это момент вектора о>.2 относительно точки М. Переносная скорость — это скорость V1, которой обладала бы точка М, 68
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
если бы она была неизменно связана с телом S1. Это та скорость, которая вызвана вращением M1, или момент вектора M1 относительно точки М. Абсолютная скорость Va точки M равна, следовательно, результирующему моменту векторов M1 и M2 относительно точки М. Эта скорость не зависит от порядка, в котором происходят вращения M1 и м2.
Рассмотрим несколько частных случаев:
1°. Оси вращения пересекаются. Результирующий момент векторов M1 и M2 относительно произвольной точки M равен моменту их результирующего вектора м (рис. 42, а). Абсолютная скорость точки M будет, следовательно, такой, как если бы тело S2 совершало только одно вращение A1^.
2°. Оба вращения M1 и м2 параллельны и не образуют пары. Система этих двух векторов эквивалентна одному единственному вектору Ам, получаемому по известному правилу (п. 31). Следовательно, результирующий момент относительно точки M равен моменту результирующего вектора Аа>. Скорости различных точек тела будут, как и раньше, такими, как если бы тело совершало только вращение м (рис. 42, б).
сог м
в, Л
Рис. 43.
3°. В случае, когда оба вращения образуют пару, результирующий момент равен вектору момента пары, какова бы ни была точка М, и все точки тела S2 имеют одинаковую скорость. Скорости этих точек будут, следовательно, такими, как если бы тело Sa совершало поступательное движение со скоростью, равной вектору момента пары (рис. 43).
48. Произвольное число вращений. Пусть тело S1 совершает вращение A1^1 и с ним связаны ось .Д2м2 и тело S2, которое совершает относительно S1 вращение м2. С телом S2 связаны ось А3а3 и тело S3, совершающее относительно S2 вращение м3, и т. д. до тела Sn, совершающего относительно S^-i вращение м„.
Мы будем говорить для краткости, что тело S1 одновременно совершает вращения M1, м2, ..., а>п. Найдем абсолютную скорость какой-нибудь точки М, неизменно связанной с последним твердым телом Sn. Эта скорость равна главному моменту системы векторов M1, м2, ..., а>п относительно точки М. Так как это предложение установлено для случая двух вращений, то для того, чтобы установить его в общем виде, достаточно показать, что если оно справедливо для п—1 вращений, то оно остается справедливым и для п вращений.
Абсолютная скорость точки M тела Sn равна геометрической сумме его относительной скорости Vr относительно Sn-і и переносной скорости Ve (рис. 44). Относительная скорость точки M по отношению к S^-i есть скорость, вызванная вращением и>п, т. е. она равна моменту вектора мта относительно точки М. Переносная скорость точки M равна скорости, которую она имела бы, если бы была неизменно связана с телом Sn-^ т. е. она равна главному моменту векторов M1, м2.....ап-1 относительно точки М. Абсо- ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
69
Пі
ufl
Рис. 44.
лклная скорость есть результирующая этих двух моментов и равна, следовательно, главному моменту векторов (O1, ш2, ..., шп относительно точки М. Эта скорость не зависит от порядка вращений.
Задача, которая возникает при аналогичной комбинации поступательных и вращательных движений, приводится к предыдущей путем замены каждого поступательного движения парой вращений.
Установив это, рассмотрим вторую си-
Ii /
стему векторов (O1, (й2.....эквивалентную первоначальной M1, ш2, ..., ып, т. е. такую, которая может быть получена из первоначальной элементарными операциями. Обе системы вращений, представляемые этими векторами, сообщают точке M одну и ту же скорость. Следовательно, если рассматриваются только скорости, то одну систему векторов <Й можно заменить другой.
Вот некоторые, вытекающие отсюда наиболее важные следствия:
