Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
дополнительно доказать, что указанная кривая является коническим сечением также и для цилиндроида.
15. Доказать в общем виде, что результирующий винт двух произвольных винтов с фиксированными положениями описывает цилиндроид, когда параметры этих винтов остаются постоянными, а их векторы изменяются.
Принять за ось Oz общий перпендикуляр к обоим винтам.
16. Из всех нецилиндрических линейчатых поверхностей цилиндроид является единственной поверхностью, для которой геометрическое место проекций произвольной точки на образующие есть плоская кривая. (См. Appell, Bulletin de la Societe math6matique, декабрь 1900; Bricard1 там же, январь 1901; Demoulin, там же).
17. Произвольная система скользящих векторов всегда эквивалентна шести векторам, направленным по шести ребрам тетраэдра.
18. Пусть SABC—тетраэдр. Примем в качестве положительных направлений на ребрах, выходящих из S1 направления Syl1 SB, SC. Далее, на каждом ребре основания, таком, как AB, примем в качестве положительного направления вращения вокруг противоположного ребра SC направление AB. Обозначим через ?, тг), С, [а, ч алгебраические значения шести векторов, направленных по Syl1 SB, SC, ВС, CA, AB. Показать, что инвариант LX MY -f- NZ имеет значение
где V — объем данного тетраэдра.
19. Для того чтобы система скользящих векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы шесть составляющих т], X, v равнялись нулю.
20. Для того чтобы система скользящих векторов была эквивалентна нулю, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов относительно каждого из шести ребер тетраэдра равнялась нулю.
21. Система скользящих векторов, лежащих в одной плоскости, эквивалентна либо одному вектору, либо одной паре, либо нулю.
22. Система скользящих векторов, лежащих в одной плоскости, эквивалентна трем векторам, направленным по сторонам произвольно взятого в этой плоскости треугольника.
23. Для того чтобы векторна л производная какого-нибудь вектора была всегда ему перпендикулярна,' необходимо и достаточно, чтобы этот вектор имел постоянную длину.
24. Для того чтобы векторная производная какого-нибудь вектора была всегда направлена вдоль него, необходимо и достаточно, чтобы этот вектор имел постоянное направление.
25. Смешанное произведение трех сходящихся векторов APb AP2, AP3 с проекциями X1, Kll Z1; X2r Y2, Z2, Xi, K3, Z3 есть скаляр
равный по величине и по знаку объему параллелепипеда, построенного на этих векторах.
Показать, что:
1°. Смешанное произведение меняет знак при перестановке двух множителей.
2°. Смешанное произведение трех полярных вектоиов есть скаляр второго рода (п. 34).
X1 Y1 Z1 PlXPi- P3= X3 Y2 Z2 X3 K3 Z3 ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•55
3°. Смешанное произведение трех аксиальных векторов есть скаляр первого рода.
4°. Смешанное произведение трех векторов есть скалярное произведение одного из векторов на векторное произведение двух других.
26. Центральная плоскость. Дана система связанных векторов K1,
V2..... Vn, приложенных в точках A1, A2..... An. Показать,' что если
точку P перемещать параллельно главному вектору R, то существует положение P0 этой точки, для которого результирующий вириал относительно P0, равный сумме вириалов всех векторов, обращается в нуль.
Геометрическое место точек P0 есть плоскость, перпендикулярная к R. Это и есть центральная плоскость.
27. Центр. Точка центральной плоскости, относительно которой главный момент параллелен вектору R, есть центр. ГЛАВА II
КИНЕМАТИКА
Кинематика оформилась как самостоятельная наука сравнительно недавно. Уже Даламбер указал на важность изучения законов движения как такового. Но первый, кто показал необходимость предпослать динамике теорию геометрических свойств движения тел, был Ампер. Эти свойства были представлены в 1838 г. Факультету наук в Париже Понселе. В этом представлении содержались, в частности, и теоремы о непрерывном перемещении твердого тела в пространстве, за исключением понятия мгновенной винтовой оси, которое было введено Шалем. Формулы, дающие вариации координат точек движущегося в пространстве тела, принадлежат Эйлеру (Берлинская Академия, 1750). Кинематика допускает многочисленные геометрические приложения. К ним относится, например, метод Роберваля построения касательных, теория мгновенных центров вращения, введенная Шалем, частный случай которой был дан уже Декартом в связи с задачей о касательной к циклоиде. К ним же относятся установленные Шалем свойства систем прямых, плоскостей и точек, связанные с движением твердого тела и приводящие наиболее простым образом к понятию комплекса прямых первого порядка. В 1862 г. Резаль выпустил курс «Чистой кинематики». С появлением этого курса кинематика окончательно утвердилась в качестве самостоятельной науки.
Мы ограничиваемся здесь изложением только тех понятий, которые необходимы для дальнейшего курса механики. Так, в частности, мы не занимаемся здесь перемещениями твердого тела, положение которого определяется двумя или несколькими параметрами. Эти перемещения были изучены, главным образом, Томсоном и Тэтом, Шёнеманом, Мангеймом, Рибокуром, Кёнигсом.
