Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
] положное направление. Принимая эти термины,
мы видим, что произвольная система векторов ff эквивалентна винту, линия действия которого со-
впадает с центральной осью, а модуль и напра-, вление совпадают с модулем-и направлением
О jfP главного вектора. Параметр этого винта равек
величине
Zf
f-JL- G cos RG = LX+ MY+NZ f~R~ R ~ X9- + Y3 + Z9-
Ijjf Следовательно, / есть найденное общее значение
равных отношений, входящих в уравнения цен-Рис. 23. тральной оси.
Произвольное число заданных винтов всегда складывается в один винт. Действительно, каждый заданный винт представляет собой систему трех векторов; следовательно, совокупность заданных винтов представляет собою некоторую систему векторов, эквивалентную согласно установленным выше правилам одному винту, способ определения которого известен.
Единичным винтом (vis) называется винт, у которого вектор O'R равен: единице:
X* + Y* + ZP- = 1.
В этом случае величина / приводится к LX+ MY-f- NZ; ее называют параметром или шагом единичного винта.
Болл показал полезность понятия винта для кинематики и механики твердого тела. Перечисление многих работ, опубликованных им по этому вопросу, можно найти в Bulletin Btbltographlque Жино Лориа, а изложение этих работ — во французском издании ГEncyclopedte des Sciences mathematlques в статье Люсьена Леви, Sur Ies fondements giometrlques de la Stailque.
26. Частные случаи приведения. Может случиться, в частности, что система векторов, не эквивалентная нулю, эквивалентна лишь одной паре или только одному вектору.
Система эквивалентна только паре, если ее главный вектор равен нулю.
Для того чтобы система была эквивалентна одному вектору, необходимо и достаточно, чтобы главный вектор был отличен от ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ •41
нуля, а минимальный момент g равнялся нулю, т. е. чтобы главный момент относительно произвольной точки пространства был перпендикулярен направлению главного вектора, В самом деле, для системы, состоящей из одного вектора, центральная ось совпадает с этим вектором и минимальный момент равен нулю. Наоборот, если минимальный момент обращается в нуль, то система эквивалентна одному вектору, лежащему на центральной оси, так как пара с минимальным моментом, которую в общем случае необходимо добавить к этому вектору, в рассматриваемом случае обращается в нуль. Здесь / = 0.
27. Резюме. Резюмируя изложенное, получаем следующую таб-
лицу:
LX+ MY + NZ ^ 0
Система эквивалентна двум векторам, не лежащим в одной плоскости. Она эквивалентна также одному вектору, лежащему на центральной оси, и одной паре, плоскость которой перпендикулярна этой оси, т. е. винту.
LX I MY I NZ_0 /^истема эквивалентна двум векторам, лежащим
' \ в одной плоскости, причем:
I0 x2+Y2 + Z2~>0 /^истема эквивалентна одному вектору, 1 лежащему на центральной оси.
Система эквивалентна паре.
2°. X=Y = Z = 0,
L2 + M*+N2> 0
3°. X=Y = Z = 0,
?__дJ_Q I Система эквивалентна нулю.
28. Взаимный момент системы скользящих векторов. Используя обозначения п. 18, назовем взаимным моментом двух систем векторов (S) и (S0) величину
LX0 + AlK0 + NZ0 + L0X + Al0K + N0Z, (1)
значение которой не зависит от выбора осей координат. В самом деле, мы можем эту величину представить в виде
{L + L0) (X + X0) + (Al + Al0) (К + K0) + (N + N0) (Z + Z0) -
-(LX +MY+ NZ) - (L0X0 + Al0K0 + N0Z0),
где три члена будут инвариантами либо полной системы (S)+(S0), либо одной из систем (S) или (S0). Согласно истолкованию этих инвариантов, данному в п. 21, взаимный момент систем (S) и (S0) равен ушестеренной сумме объемов тетраэдров, полученных сочетанием всех векторов системы (S) со всеми векторами системы (S0).
Пусть В—кратчайшее расстояние между центральными осями обеих систем и а — угол между ними, R и R0 — их главные векторы, лежащие на этих центральных осях, a g и ^0—соответствующие минимальные моменты. Тогда взаимный момент обеих систем равен
± RR0Ь sin a + (gR0 + g0R) COS а, (2) 42
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
где первый член есть взаимный момент векторов R и R0. Эту формулу легко вывести, если за ось Oz принять одну из центральных осей (п. 17) и посмотреть, во что при этом обратится выражение.(I).
29. Приложение общих теорем к случаю параллельных скользящих векторов. Если все векторы некоторой системы параллельны, то эта система эквивалентна либо одному вектору, либо одной паре; либо нулю. В самом деле, так как моменты всех векторов относительно какой-нибудь точки направлены перпендикулярно общему направлению этих векторов, то и главный моменх. если он отличен от нуля, будет также перпендикулярен этому направлению. Главный вектор, если он отличен от нуля, параллелен этому направлению. Следовательно, инвариант LXMYNZ обращается в нуль.
Пусть а, ?, і—направляющие косинусы какой-нибудь полупрямой, параллельной общему направлению векторов. Обозначим
через P1, P2.....Pn величины этих векторов, причем эти величины
будем считать положительными, если направления соответствующих векторов совпадают с направлением выбранной полупрямой, и отрицательными— в противном случае. Тогда, если хк, ук, Zk — координаты какой-нибудь точки приложения вектора Pk; Xk, Yk, Zk — проекции этого вектора на оси координат, которые мы считаем прямоугольными, и Lk, Mk, Nk — его моменты относительно этих осей, то
