Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
Угловой скоростью называют величину, численно равную скорости точек, расположенных от оси на расстоянии единицы длины. Если эту угловую скорость обозначить через ш, то величина V скорости точки M будет равна шМР, где MP — расстояние от точки M до оси вращения. Когда вращение задается углом 6, на который поворачивается тело от какого-нибудь начального
, . do положения, и этот угол выражен в функции t, то ш равно
Для определения скоростей в какой-нибудь момент t при вращательном движении необходимо знать три элемента: ось вращения, угловую скорость и направление вращения. Эти три элемента могут быть представлены одним вектором следующим образом.
Рис. 36. ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
65
Возьмем на оси вращения AB произвольную точку А и отложим на ней отрезок Аш длины со, направленный таким образом, что для наблюдателя, стоящего в точке А и смотрящего с конца to отложенного отрезка, вращение происходит справо налево. Определяемая таким образом геометрическая величина Аш представляет вращение. Отождествляя вращательное движение с представляющим его вектором, часто говорят, что тело совершает вращение Аш. Так как начало вектора А может быть выбрано где угодно на оси, то, не изменяя вращения, можно перенести начало изображающего его вектора to в произвольную точку его линии. Вращение представляется, следовательно, вектором, приложенным вдоль некоторой прямой. Этот вектор является аксиальным (п. 34).
Аналитические выражения проекций скорости точки тела. Пусть Аш (рис. 37) — вращение с угловой скоростью to, а р, q, г — проекции последней на оси Ох, Oy, Oz, предполагаемые прямоугольными, наконец, х0, у0, Z0—координаты точки А. Пусть M— точка тела с координатами х, у, г, MV— ее скорость, Vx, Vy, Vz — проекции этой скорости на оси. Последние величины нам и нужно определить.
С этой целью заметим, что скорость V точки M по величине и направлению совпадает с моментом вектора ^to относительно точки М. В самом деле, эта скорость равна хоМР, перпендикулярна плоскости МАш и направлена таким образом, что точка, перемещающаяся от А к tu, двигается вокруг V в положительном направлении. Нам известны (п. 9) формулы проекций момента относительно какой-нибудь точки (х', у', г). Прилагая эти формулы к рассматриваемому случаю и замечая, что момент берется относительно точки х, у, z, найдем:
Vx = q(z — z0) — r (у — ^0),
'О
Рис. 37.
У у = г (X — х0) — р (z — Z0), К =Р(У — Уо) — 9(х — х0).
Когда точка А совпадает с началом координат, эти выражения принимают вид
Vx = qz — ry, Vy = rx —pz, V1=Py- qx, 66
ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
IIL Скорость в относительном движении.
Сложение поступательных и вращательных движений.
Скорости точек свободного тела
45. Относительное движение; скорость. Вообразим неизменяемую систему (S), совершающую заданное движение, и некоторую точку М, движущуюся относительно этой системы. Система (S) может быть, например, Землей, а точка M— тяжелой точкой, предоставленной самой себе на поверхности Земли и падающей по вертикали. Для наблюдателя, увлекаемого системой (5), называемой подвижной системой отсчета, и не подозревающего об этом движении, точка M
описывает относительно системы (S) некоторое движение, которое называется относительным. Траектория, скорость и ускорение в этом движении называются относительной траекторией, относительной скоростью и относительным ускорением. Одновременно та же точка совершает в пространстве некоторое абсолютное движение.
На рис. 38 изображена относительная траектория С точки M относительно системы сравнения (S). В то время, как точка M описывает эту кривую С, неизменно связанную с системой (5), сама система перемещается в пространстве. Пусть в момент t движущаяся точка, система сравнения и относительная траектория занимают положения М, (S) и С, а в момент времени f-J-Af они занимают положения M1, (S1) и C1. Абсолютное перемещение есть MM1; точка переходит из M в M1, следуя по некоторой траектории Ca, которая является её абсолютной траекторией.
Обозначим через M' положение, которое занимает в момент t-\-kt точка системы (5), совпадавшая с точкой M в момент t. Перемещение M'M1 есть относительное перемещение точки М; перемещение MM' называется переносным перемещением. Вектор MM1 есть
геометрическая сумма векторов M'M1 и MM'¦ Если на каждом из этих векторов отложить отрезки MWa, M1Wr и MWe, равные соответственно этим векторам, деленным на Af, то полученные таким образом векторы будут представлять собой среднюю абсолютную скорость, среднюю относительную скорость и среднюю переносную
Рис. 38.
Рис. 39. ГЛАВА II. КИНЕМАТИКА
67
скорость. Так как первый вектор есть сумма двух других, то
(W0) = (Wr) + (We).
Когда Дt стремится к нулю (рис. 39), эти векторы стремятся к абсолютной скорости Va, относительной скорости Vr и переносной скорости Ve. Мы имеем, следовательно, геометрическое равенство
(Vr0) = (Vr) + ^.).
Переносная скорость, согласно предыдущему, представляет собой скорость точки системы (S), совпадающей в рассматриваемый момент с точкой М, или скорость, которую имела бы точка М, если бы она в занимаемом ею положении оказалась неизменно связанной с системой (S).
