Теоретическая механика - Аппель П.
Скачать (прямая ссылка):
вектора P называется ее моментом. Когда момент равен нулю, то й пара эквивалентна нулю. Действительно, в этом случае равны нулю либо оба вектора, либо плечо AB, а тогда оба вектора прямо противоположны.
Так как пара является системой векторов, для которой главный вектор равен нулю, то главный момент пары постоянен по величине и направлению для всех точек пространст.в.а. Этот главный момент называется векторным моментом пары. Векторный момент пары является, следовательно, вектором, имеющим определенный модуль и направление, но его точка приложения может быть выбрана в пространстве произвольно, другими словами, векторный момент пары является вектором свободным. Чтобы уяснить, каким является этот вектор, найдем главный момент относительно точки О, расположенной на плече AB между точками А и В. Моменты обоих векторов P и —P будут перпендикулярны к плоскости пары и одинаково направлены, так как оба вектора P и —P имеют Рис. 20. одинаковое направление вращения вокруг
Точки О. Следовательно, главный момент 00, т. е. векторный момент пары, перпендикулярен к плоскости пары и имеет модуль, равный P ¦ ОА-\-Р • OB или P • AB, т. е. равный моменту пары.
Из предыдущего следует, что две пары с одинаковыми векторными моментами эквивалентны, так как они имеют одинаковые главные моменты и одинаковые, равные нулю, главные векторы. Следовательно, они могут быть приведены одна к другой при помощи элементарных преобразований. Мы не входим з^есь в подробности этого приведения. Оно может быть произведено, согласно указаниям п. 22.
Мы ограничимся формулировкой следующего заключения:
Всегда можно при помощи элементарных операций преобразовать одну в другую две пары, имеющие одинаковые векторные моменты, т. е. две пары, лежащие в параллельных плоскостях и имеющие одинаковые моменты и одинаковые направления вращений.
2°. Сложение пар. Любое число пар всегда эквивалентно одной паре, векторный момент которой равен сумме векторных моментов слагаемых пар.
В самом деле, система, образованная р парами Pi, —P1; Pi, —P2', •••; Pp. —Рр< есть система векторов, для которой главный вектор равен нулю. Главный момент этой системы будет, следовательно, одним и тем же для любой точки пространства (рис. 21).
Для нахождения этого главного момента OO относительно точки О можно поступить следующим образом. Возьмем сначала геометрическую сумму OO1 моментов векторов P1 и —P1, которая ГЛАВА І. ТЕОРИЯ ВЕКТОРОВ
•39
OGp складываем вместе. Рассмо-
равна векторному моменту первой пары, затем сумму OG2 моментов векторов P2 и —P2, равную векторному моменту второй пары, и так продолжаем до тех пор, пока не получим сумму OGp, равную векторному моменту последней пары. После этого полученные частичные суммы OG1, OG2, трим теперь пару с векторным моментом OG, равным главному моменту. Эта одна пара эквивалентна системе всех заданных пар, так как эта пара и эта система имеют одинаковые главные моменты, равные OG, и одинаковые главные векторы, равные нулю.
Можно при помощи элементарных операций привести заданную систему пар к одной паре с векторным моментом OG. Если OG = 0, то эта одна окончательная пара
Рис. 21.
нулю и тогда вся за-
эквивалентна данная система тоже эквивалентна нулю.
Мы не будем здесь входить в подробности относительно тех элементарных операций, при помощи которых может быть осуществлено указанное сложение пар. Нам достаточно знать, что такое сложение осуществимо.
24. Приведение к вектору и паре. Произвольная система векторов эквивалентна одному-единственному вектору, равному главному
вектору и приложенному в произвольной точке, и одной-единственной паре с векторным моментом, равным главному моменту относительно указанной точки. <р В самом деле, пусть OR — главный вектор и OG — главный момент системы относительно произвольной точки О. Новая система, образованная вектором R и парой (Р,—Р) с векторным моментом OG, эквивалентна заданной системе, так как она имеет тот же главный вектор OR и тої же главный момент OG относительно точки О (рис. 22). Заданная система может быть, следовательно, приведена к системе R, Р, —P при помощи элементарных операций.
Так как точка О взята произвольно, то существует бесчисленное множество способов определения вектора и пары, эквивалентных заданной системе. После того, как точка О уже выбрана, в качестве пары (Р, —Р) может быть взята любая из бесчисленного множества тар, имеющих векторный момент OG.
Рис. 22. 40 ЧАСТЬ ПЕРВАЯ.. ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ ПОНЯТИЯ
Если точка О взята на центральной оса DD' в точке О', то главный вектор OrR и главный момент O'g будут лежать на этой центральной оси. В этом случае плоскость пары (Р, —Р) будет перпендикулярна к главному вектору R и ее момент будет минимальным (рис. 23).
25. Винт. Английский ученый Болл называет предыдущую систему, образованную вектором O R (рис. 23) и парой, плоскость которой перпендикулярна к этому вектору, винтом.
Точкой приложения, линией действия, направлением и модулем винта называют точку приложения, линию действия, направление и модуль вектора O'R. Параметр / винта есть отношение в'еличины момента g пары к модулю вектора R; это отношение считается положительным или отрицательным в зависимости от того, будут ли век-{jff торы O'R и O'g иметь одинаковое или противо-
