Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
Исследуем, как видоизменяется время релаксации т (е) в случае нестандартной зоны.
Рассмотрим время релаксации, обусловленное взаимодействием электрона с акустическими колебаниями. Оценки показывают, что и в случае нестандартной сферической зоны взаимодействие электронов с акустическими колебаниями происходит почти упруго. Это значит, что в законе сохранения энергии можно пренебречь энергией фонона = (и0—скорость звука); легко видеть, что в этом случае (VIII.4.Ir): $9] ПОЛУПРОВОДНИКИ CO СФЕРИЧЕСКОЙ зоной 555
Выражение (VI11.4.7) приобретает вид
2ft . л . 2я
T= - (? J ? dI J sin o d® J1dV (я) ^6 [Є ((* + <7)2) -0 0 о
-є Eii- ш iq) +1} 6 [е {k -q)* -в ik^ Ей} • м
Здесь q cos а и ?cos? проекции q и А на вектор Очевидно, что б-функции равны
б [є ((ft ± q)2) — z (ft2)] = б [е(/е2 + <73 ± 2kq cos в) — е (ft*)] =
~-^7t fi (cos» =F^). (9.9)
І±дЩ2к<} где Ч1 q?k — корни уравнения
є (k2 + q2 ± 2kq cos ft) — є (&2) = 0
или уравнения
k2 + q2±2kq cosft —?2 = 0.
Действуя дальше так же, как в гл. VIII, § 4, получим
2ft " -
0
откуда
9л Mvl%
T = •
4 Q„c40T
(S)P-' <9ЛІ)
В случае стандартной зоны это немедленно приводит к выражению (VIII.4.11). Подставляя в (9.11) (9.2а), (9.7) и (9.6а), получим
(і+-V172
9л р^4 / е \-1/2 V -rS0J ,Q12.
2 C2 [2т (0) k0T]a/2 VW 2е • ^ >
еа
Здесь плотность кристалла р = Af/Q0; второй множитель, зависящий от ес, учитывает отступление сферической зоны от пара-боличности. При Еа—+оо выражение (9.12) переходит в (VIII.4.11). Запишем время релаксации (9.12) в форме
Р.13)
где х = г/к0Т, $ = k0T/eG—параметр, характеризующий непа-раболичность зоны, и г =—1/2. Нетрудно показать, что это выражение для времени релаксации применимо и в случае других механизмов рассеяния с другими значениями T0 и г (3.56) —(3.5г). Используя (9.13), (9.6а) и (9.7), получим для 556 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
электроироводности (9.3)
[2т (0)407-]
'(Q)^oЛ3/2 т Cf ап\ 9
Pm(O) T°J V дх) (l + ijte)« dX> ^14'
о
где Zo = [l+ехр (X-Z)]"1, Z = Uk0T.
Аналогично могут быть вычислены коэффициенты других кинетических эффектов: термоэлектрических, гальваномагнитных, термомагнитных1). Эти коэффициенты выражаются через интегралы, подобные интегралу в (9.14), и имеют вид
4.(..10^(-?)?^ (9.15,
о
их иногда называют обобщенными или двухпараметрическими интегралами Ферми. При ? = 0 они выражаются через интеграл Ферми (VI.2.6); в самом деле,
OO оо
SZk {г, 0)=-j -|?</х==-J *»+»<*/„ ==
О ' о
00
= -*+nf0\o+{m + n)\f0{x)*>+"-*dx={m + n) Fm^i(Z). (9.15а)
о
Значения табулированных обобщенных интегралов Ферми (9.15) для параметров: —5 ^ z ^ 20 и O^?^l даны в Приложении Д к книге Б. М. Аскерова2).
Выразим концентрацию электронов п через химический потенциал Z = I1Ik0T и параметр непараболичности $ = k0T/ea
= ^2 J /о («0 A» = з-і-2 j ( -?) ft- (є) de. (9.16)
Подставляя сюда ft (є) из (9.6а), получим
(9.16а)
Отсюда и из (9.15а) видно, что для параболической зоны (? = 0) п= SrIZ-Az), (9.166)
что совпадает с (VI.2.5).
^Аскеров Б. М. Кинетические эффекты в полупроводниках.—M.: Наука, 1970, гл. V.
а) Аскеров Б. M., там же. J 10]
ЭФФЕКТ «ФОНОННОГО УВЛЕЧЕНИЯ»
557
В случае сильно вырожденного полупроводника —dfjde = = o(e — ?), поэтому из (9.16) следует
fe(O = (3n»n)1/«. (9.17)
Отсюда и из (9.6) следует
Р..«,
Подставляя это в (9.7), получим
«(0 = «(0)]/" 1 + 2^fff • (9.19)
Отсюда следует, что для антимонида индия т (?) возрастает почти в четыре раза, когда концентрация п изменяется от IOie до 5-1018сж-3.
В работе Колодзайчиках) приведены для n-InSb зависимость подвижности а/еп от концентрации, которая для параболической зоны вообще отсутствует.
Из (9.18) и (9.19) получаем простую связь между уровнем Ферми ? и соответствующей ему эффективной массой
§ 10. Эффект «фононного увлечения» в полупроводниках
1. Во всех предыдущих параграфах этой главы предполагалось, что фононы находятся в состоянии статистического равновесия, т. е. числа заполнения фононов Nq определяются функцией Планка (VI11.4.10). В то же время очевидно, что при наличии электрического тока и рассеяния электронов на фононах, направленный импульс электронов должен передаваться фононам, в силу чего их распределение не может оставаться изотропным.
Это обстоятельство не учитывалось в предыдущих формулах, однако ясно, что явление обратного воздействия неравновесности распределения фононов на неравновесность распределения электронов—эффект 2-го порядка малости и им можно практически пренебречь. Однако отступление распределения фононной функции от равновесного возможно за счет наличия градиента температуры в кристалле.
Как было впервые показано Л. Э. Гуревичем (1945), неравновесность фононного распределения, связанная с наличием градиента температуры, может при определенных условиях играть существенную роль в термоэлектрических явлениях в металлах.
1J Kolodziejczak J.— Acta Phys. Polon., 1961, v. 20, p. 289. 558 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
