Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
_Яі Є2/ Tj у П2е2/ T8 ,
"і - тЛ 1 + (у^Я)2 Г т* \ 1 + (у2т2Н)2 / '
Здесь оба слагаемых в а2 отрицательны, так как у нас по-
прежнему V1 = - > О и Y2 = -^-> 0, а для электронов а2 полоту Q
жительно.
Если мы для O1 и а2 (8.75) возьмем линейное приближение по Н, то по формуле (5.5а) получим для постоянной Холла
«
ЧІКІГ^
652 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Предполагая, что зависимость T1 и та от энергии определяется выражением (3.5а) 1J, легко показать, что
где |Д, — подвижность.
Из (8.76), (8.77) и выражения для подвижности (3.3), получим
п_Зя 1 !+(ZtaZn1) (HaZH1)2 /Я7Р,я\
* 8 Cen1 [1+(/1,/?) (HaZHi)]2' * '
Используя для Ci1 и а2 квадратичное приближение вида (5.9), можно вычислить магнетосопротивление в слабых полях. Считая, что дырки имеют время релаксации (3.5а), получим в результате аналогичного расчета
Ap
_ 9я (HiH у Г1 +(Zt2M1) (Иг/Иі)3 я /1+(Я»/Яі) (Ца/Иі)ауі /о 7оч 16 V с J Ll+KZti) (HaZHi) 4 V ! + (/I2Zn1) (H2Zm) Jj ' ( '
Полагая концентрацию легких дырок я2 = 0, получим из (8.76а) и (8.78) выражения (5.12а)2).
Отношение подвижностей легких и тяжелых дырок можно с хорошим приближением считать равным обратному отношению их эффективных масс (8.65). Мы видим, что три выражения (8.74), (8.76а) и (8.78) содержат три неизвестных я,, и ItJn1.
Поэтому измерения электропроводности, эффекта Холла и магнетосопротивления, вообще говоря, достаточно для определения концентраций и подвижностей тяжелых и легких дырок.
На самом деле, для сравнения теории с опытом 3) используются экспериментальные данные и теоретические формулы не только для слабых, но и для промежуточных и сильных магнитных полей.
При этом оказывается, что наилучшее совпадение теории с опытом имеет место, когда отношение концентраций Hjn1 = 0,02, что находится в противоречии с данными об эффективных массах, полученных из циклотронного резонанса, так как, согласно (VI.2.12)
^ = (^)^=( 8,0)-3/, = 0,04.
1) Хотя германий—типичный атомный кристалл, это предположение нельзя считать обоснованным, так как температурная зависимость подвижности дырок не подчиняется закону (6.9).
2) Конечно, тот же результат можно получить, полагая концентрацию тяжелых дырок п1 = 0, однако для этого надо преобразовать (8.76а) и (8.78).
8) Willardson R. К., Harman Т. С., В еег А. С. —Phys. Rev., 1954, v. 96. р. 1512 §9] ПОЛУПРОВОДНИКИ СО СФЕРИЧЕСКОЙ зоной 553
Это противоречие, вероятно, связано с рядом упрощающих предположений теории и с сомнительным предположением о зависимости времени релаксации от энергии (см. примечание на предыдущей странице).
§ 9. Явления переноса в полупроводниках со сферической непараболической зоной
1. Рассмотрим явления переноса в полупроводниках с одним сортом носителей тока, энергия которых є зависит от абсолютной величины волнового вектора \k\ = k, но в остальном произвольна, т. е. откажемся от предположения, что энергия є — однородная квадратичная функция составляющих волнового вектора kx, ky, kz. Такая ситуация может возникнуть в полупроводнике с узкой запрещенной зоной и реализуется, например, в антимониде индия (InSb).
Выражение для тока электронов (2.15)г)
OO
J= j" * W (-?) " W k4k <9л)
о
справедливо и в случае нестандартной сферической зоны. Здесь, как следует из (2.2а),
„(A) (9.1а)
w U dk v '
Рассмотрим вначале электропроводность в изотермических условиях (YT = O) и в отсутствие магнитного поля (H = O). В этом случае, из (2.11) следует, что
г (k) = -ей (k) X (k) E= -±.Шт{к) Е. (9.16)
Подставляя (9.1а), (9.16) в (9.1) получим для электропроводности
о
Положим
dk m (є) ' [У.Ж)
где m (є) — эффективная масса, зависящая от энергии электрона е. В случае стандартной зоны (2.13): m(e)=m.
Подставим (9.2а) в (9.2) и перейдем от переменной интегрирования k к е:
' (9.3,
о
1J Мы опускаем индекс п. 554 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ '
[гл. IX
Для электронов проводимости в InSb энергия, согласно (IV.13.366), равна
%Чг 1 (г2а + 8Р2к2/3)Ш е = 2^Г + 2-еО+ -2-•
Здесь тй — масса электрона в вакууме, P—константа, характеризующая «взаимодействие» валентной зоны с зоной проводимости, равная (IV. 13.306), е0—ширина запрещенной зоны. В написанном выше выражении энергия є отсчитывается от верхнего края валентной зоны. Для дальнейшего удобнее отсчитывать энергию от нижнего края зоны проводимости; для этого мы должны в написанном выше выражении заменить є на є + є0, тогда
W-1)- <94>
Если Pk^e0, т. е, для малых k, можно разложить корень в ряд, тогда '
_ K2k2 2рч2 _ %2k2
г~2т0 + Зє0 2т (0) ' ^0'
Здесь т(0)— эффективная масса электрона на дне зоны проводимости. Из опытов по циклотронному резонансу известно, что m(0) = 0,013m0, т.е. m(0)<^m0; в этом приближении из (9.4) получим
-тР(/'+^?-1)' (9'6)
Отсюда следует, что
к{г)=(*п1°.>«)'"(1+JL)'*. (9.6а)
Из (9.2а) и (9.6) получим
m(e) = m(0)(l+|). (9.7)
Множитель (1+2є/є0) в правой части описывает увеличение т(е) с ростом є; при е0—>-оо т(е) = т(0) и зона приобретает параболический характер.
