Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
g _ , _4л3&3п___ _ . .
k0T ~ ш (2лa0t)3/2 (Zn1Zn2Zn3)1/2 Nc » (O.Diaj
как это следует из (VI.2.126) и (VI.2.22a).
7. В заключение мы кратко остановимся на упрощенной теории явлений переноса в полупроводниках типа /з-германий. S 8]
ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ
549
В гл. IV, § 15 мы описали структуру валентной зоны /»-германия и /»-кремния. Наиболее существенным для нее является двукратное вырождение энергетического спектра дырок при k = 0 и связанное с этим наличие двух сортов дырок: тяжелых и легких. Было отмечено, что при изотропном усреднении по ^-пространству энергия дырок становится пропорциональной |Аг|2. Отношение скалярных эффективных масс тяжелых и легких дырок в германии: HilIm2 = S,0.
В таком изотропном приближении для энергий и в предположении, что времена релаксации T1 и T2 для тяжелых и легких дырок зависят от их энергий, нетрудно вычислить все кинетические коэффициенты.
Сравнение теории с опытом показывает, что для германия отношение подвижностей легких и тяжелых дырок примерно равно обратному отношению их эффективных масс1)
Если T1 и т2 были бы много меньше, чем времена перехода из состояния тяжелых дырок в состояние легких дырок (мы будем называть эти переходы межзонными), то времена релаксаций можно было бы вычислять обычным способом, т. е. без учета межзонных переходов, и в этом случае, согласно (VIII.4.11),
для взаимодействия с акустическими колебаниями^^ = ^3/2 .
При этом мы предполагаем, что константа деформационного потенциала ^1 (VI 11.5.15) (или константа взаимодействия С) одна и та же для тяжелых и легких дырок. Последнее может быть обосновано тем, что ^1, согласно (VIII.5.4), равно смещению края валентной зоны, отнесенному к относительному изменению объема при равномерном сжатии кристалла. Так как при равномерном сжатии вырождение не снимается, то значение S1 одинаково для обоих сортов дырок.
Используя обычную формулу для подвижности (3.3), получим
зывает, что при рассеянии должны играть существенную роль межзонные переходы. Из (8.65) следует, что времена релаксаций тяжелых и легких дырок должны быть одинаковы.
Определим время релаксации, например для тяжелых дырок, с учетом межзонных переходов при упрощающем предположении, что вероятность перехода при рассеянии на акустических колебаниях и в случае вырожденной валентной зоны имеет простую изотропную форму (VIII.3.1 la), (VI11.3.116)а).
1J Wi llardson R. К., Harrnan Т. С., Beer А. С. —Phys. Rev., 1954, v. 96, р. 1512.
а) Пикус Г. Е, —ЖТФ, 1957, т. 27, с. 1606.
ц2/ц, ж т1/т2 = 8,0.
(8.65)
находится в противоречии с (8.65). Это пока- 550 КИНЕТИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В ПОЛУПРОВОДНИКАХ ' [ГЛ. IX
Считая столкновения с фононами упругими, заменяя Ng и Nq -+-1 на kj/h(uv и полагая для акустической ветви (Hq = V0Q (v0—скорость продольных волн), получим как для испускания, так и для поглощения фонона одинаковую вероятность
W (H1V) = W0S(^-U), (8.66)
где
-SHSr (8'66а>
Обозначим функции распределения тяжелых и легких дырок через Z1 (ft) и /2 (ft), тогда изменение Д из-за столкновений, согласно (VIII.2.8), равно
(І)ст = -W9 ?{[/, (A)-A (ft')] S [в, (*)_е,(*')] +
+ Ui (*) — /.(*')]в [B1 (A)-B2 (ft')]}, (8.67) где * +
Єі (Jfe) = A2fea/2m1, еа (A) = Aafea/2/n3 (8.67а)
— энергии тяжелых и легких дырок.
Первая квадратная скобка в (8.67) учитывает переходы тяжелых дырок в тяжелые (из состояния ft в ft'), во втором слагаемом— переходы тяжелых дырок в легкие. Положим, как обычно,
М*) = /ів(в) + ві(в)Л, ,Rfim
/,(*) = /,. (в) +ft (Є) (O-0OJ
Подставляя Д (ft) в первую квадратную скобку (8.67) и производя интегрирование по ft', получим результат, совпадающий с (гл. VIII, § 4)
Л?/Л<">_ Го (28)1/2 /а (glk)
Jcx ---Irt^mi ^k)---, (8.69)
где T11 — время релаксации для тяжелых дырок, обусловленное их переходами в той же зоне. Заметим, что
/ю(е) = /20(е) = ^, (8'7°)
так как в равновесии химический потенциал для тяжелых и легких дырок одинаков.
Подставляя Zi (?) и /а W во вторую квадратную скобку (8.67) и используя (8.70), легко убедиться в том, что при интегрировании по ft' член, пропорциональный ft (в) ft', равен нулю, поэтому
(ЇГ~:!(МО S 8] ЯВЛЕНИЯ ПЕРЕНОСА B ГЕРМАНИИ И КРЕМНИИ 551
где T12—время релаксаций для перехода тяжелых дырок в легкие. В результате полное время релаксаций для тяжелых дырок
+<*•'''>¦ <8-72>
Легко видеть, что аналогичный расчет для легких дырок дает для обратного времени релаксации 1/т2 выражение, совпадающее с (8.72).
Таким образом, в принятом нами приближении изотропной вероятности рассеяния (8.66) и сферической формы поверхностей энергии (8.67а) времена релаксаций тяжелых и легких дырок одинаковы, т. е.
T1 = T2, (8.73)
откуда непосредственно следует (8.65).
Электропроводность, обусловленная обоими сортами дырок, согласно (3.3), равна
а = ^ <т,> + ^ <т2> = H1W1 + п2ец2. (8.74)
Здесь п{ и H1- — концентрации и подвижности тяжелых и легких дырок.
Для определения постоянной Холла и магнетосопротивления воспользуемся уравнениями (5.4), где O1 и а2 определяются токами как тяжелых, так и легких дырок:
