Введение в теорию полупроводников - Ансельм А.И.
Скачать (прямая ссылка):
о1-3)
Полагая т=10-27 г и T = 300° К получим, что при комнатной температуре подвижность
р >40 см2!в сек. (11.3а)
Если подвижность носителей тока при комнатной температуре меньше правой части неравенства (11.3а), то кинетическое уравнение для их описания непригодно.
Критерий (11.1) (или эквивалентные ему (11.2) и (11.3)) справедлив в случае невырожденных электронов. Можно показать, что если электроны вырождены, то для кинетических эффектов, имеющих место в нулевом приближении по химическому потенциалу ? (например, для электропроводности (7.8)), критерий применимости кинетического уравнения имеет вид
т>А/е. (11.4)
Не вполне выяснен вопрос, как выглядит критерий применимости кинетического уравнения для вырожденных электронов в случае кинетических эффектов, осуществляющихся только в приближении kaT/? (например для термоэдс (7.11)).
2. В § 5 было отмечено, что если безразмерный параметр усНяціН/с^І, то магнитное поле называется сильным; при обратном неравенстве оно называется слабым. Кинетическое уравнение применимо как в случае слабого, так и сильного поля. Sil]
квантовая теория
567
Квантовомеханическое рассмотрение движения свободного электрона в магнитном поле показывает, что энергия, соответствующая движению в плоскости, перпендикулярной магнитному полю, квантована (VI.5.196). Разность соседних уровней энергии равна 2\а*Н = Ьа>с, где \a* = ehj2тс—эффективный магнетон Бора, а сOc = еНImc—циклотронная частота. Очевидно, что если
/г0Т<2ц*Я = Й(ос, (11.5)
то пренебречь дискретностью уровней энергии нельзя, так как в этом случае тепловое движение только слегка расширяет квантовые уровни электрона.
Магнитные поля, удовлетворяющие неравенству (11.5), называются квантующими.
Отношение предельных (т. е. соответствующих равенству в (5.1)) сильных магнитных полей #сил к предельным квантующим магнитным полям Hkb (11.5) равно
Ясил _ с 2M-* _ 1 eh nifil
Hkb ~ vi kaT 2л [imkaT ^ U1
Если выполняется (11.3), то Hkb > Ясил, и в этом случае существует область сильных магнитных полей, которые не являются еще квантующими, т. е. когда можно пользоваться кинетическим уравнением. В квантующих магнитных полях движение электрона не может быть описано посредством непрерывных значений энергии, импульса, координаты, поэтому кинетическое уравнение неприменимо.
3. Рассмотрим изотропный электронный проводник в изотермических условиях (VT = 0), помещенный в магнитное поле ff, направленное вдоль оси z, и электрическое поле Е, лежащее в плоскости ху.
Феноменологические уравнения (1.1а) приобретают вид
І X = а ХХЕ х—OyxEy, jy = OyxEx + OxxEy, (11.7)
так как Oxx = Oyy и аху=—0ух. Компоненты тензоров ахх и аух совпадают с ах и а2 в (5.4). В сильном магнитном поле, как следует из (5.15),
пе2 I есп .. , оч
0VX = IT-W = -- (11-8)
Это значение оуХ, не зависящее от рассеяния, получается и в квантовой механике.
Из (5.15) следует, что в случае сильного магнитного поля
ахх °х.
¦(т)ж«^1' (11"9)
оух O2 \ т IeH ухH
т. е. диссипативная составляющая тензора электропроводности охх много меньше недиссипативной составляющей оух. Соотно- 568 кинетические процессы в полупроводниках '
[гл. ix
шение (11.9) сохраняется и для квантующих магнитных полей. На опыте обычно измеряют поперечное магнетосопротивление ри, которое, как следует из (5.6), равно
P " = (1М0>
XX ~ ух ух
Диссипативная компонента тензора электропроводности ахх в квантующих магнитных полях была впервые вычислена румынским физиком Щ. Титейкой (1935). Теория Титейка основана на некоторых наглядных полуклассических представлениях, однако впоследствии она была строго подтверждена рассмотрением уравнений движения матрицы плотности (Е. Н. Адаме, Т. Д. Хол-штейн, 1959).
Титейка исходит из квантовомеханических уравнений движения электрона в скрещенных электрическом и магнитном полях (гл. VII, § 7, п. 2). При простой зоне энергия электрона (VII.7.23) в линейном приближении по электрическому полю E равна
е = е (0) + (2N + 1) + -^-WeEkv, (11.11)
где у соответствующих величин опущен индекс с. Из (VII.7.216) следует, что в том же приближении по электрическому полю энергия
є = є (0) + (2 N +1) р*Н + -^-еЕх0,
где X0=Xc — координата положения равновесия магнитного осциллятора. Таким образом, мы можем считать, что энергия электрона є зависит от квантовых чисел N, kz и х0 и от электрического поля Е, т.е. e(N, kz, X0, E) = є!;, где v = {N, kz, х0}. Считая, что в состоянии v электрон «находится» в точке х0, положим ток
¦U=-e Z S I/o (Evi) [1-/о (4)] WviV-
N, N', kz. к'г Xo < 0
-М«#)П(11.12)
Здесь /о (ev) — равновесная функция распределения для электронов с энергией ev, a W^v, — вероятность перехода электрона в единицу времени в результате рассеяния из состояния v (с х0 < 0) в состояние v' (с х'0 > 0), т. е. вероятность такого рассеяния электрона, при котором он пересекает плоскость х = 0 слева направо; множитель [1—/0 (ev-)l в соответствии с принципом Паули учитывает вероятность того, что состояние v' не занято другим электроном. Очевидно, что второе слагаемое в фигурной скобке определяет поток электронов через плоскость х = 0 справа налево. Sil] КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ
