Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Фазовые портреты типовых колебательных систем
Геометрическое представление колебаний. Метод анализа колебательных процессов с помощью исследования фазовых траекторий динамической системы был введен в теорию колебаний JI.И. Мандельштамом и A.A. Андроновым и с тех пор стал привычным инструментом при исследовании самых различных колебательных явлений.
Обсудим несколько простых, но типичных примеров представления динамических процессов в виде траекторий изображающей точки в фазовом пространстве.
Консервативный осциллятор. Рассмотрим линейный осциллятор без потерь, уравнения которого можно сформулировать на при- 18
Лекция 1. Динамические системы
а б
Рис. 1.2. а — колебательный контур, моделируемый уравнениями (1.16); б — фазовый портрет колебаний при заданном уровне энергии.
мере колебательного LC-контура (рис. 1.2,а), предположив амплитуду колебаний достаточно малой. Выбрав в качестве переменной заряд q на конденсаторе, с помощью уравнений Кирхгофа получим
q +(LCy1q = O. (1.13)
Домножив (1.13) на Lq1 получаем:
то есть для любого момента времени выполняются равенства
E = El+Ec = const, El = Lq2/2, Ec = q2/2C, (1.15)
отражающие постоянство во времени полной энергии осциллятора (суммы магнитной El и электрической Ec энергий). В более удобных координатах уравнения консервативного осциллятора можно записать следующим образом, введя замену времени т =
t/y/LC:
XjrX = 0, X2jTX2=Ol21 <2 = COnst. (1-16)
Для фазовых координат х\ = х их2 = х запишем уравнения в виде
Xi= х2, X2 = -Xi, X21jT х\ = а2. (1-17)
Фазовый портрет системы (1.17) представляет собой окружность радиуса а с центром в начале координат. Точка в фазовом пространстве, в Фазовые портреты типовых колебательных систем
19
которой вектор фазовой скорости обращается в нуль, называется особой, и в данном случае нуль координат есть особая точка типа центр.
Наличие интеграла движения у консервативной системы 2-го порядка, отражающее в данном примере факт сохранения энергии (1.15), дает возможность описать ее с помощью уравнения 1-го порядка. Действительно, определив новую переменную ср соотношениями
?i=acos(/?, ?2=asin(/?, (1-18)
получим уравнения 0=1, а = 0, (1.19)
которые и представляют закон движения фазовой точки. Во времени эволюционирует одна переменная (/?, и фазовое пространство консервативного осциллятора, таким образом, одномерно. Гармоническим колебаниям осциллятора отвечает равномерное движение изображающей точки по окружности радиуса а, как это показано на рис. 1.2,5.
Если консервативная система нелинейна, то ее фазовый портрет усложняется. Проиллюстрируем это на примере уравнения
X + Sinx = O. (1.20)
В фазовых переменных х\ — х, X2 = х уравнение (1.20) записывается следующим образом:
Xl = Х2, Х2 = — sin X\. (1-21)
Рис. 1.3. Фазовый портрет осциллятора (1.20).
Состояния равновесия нелинейного маятника на фазовой плоскости расположены вдоль оси х\ (х2 = 0) в точках х\ = 0, ±7г, ±27г,... Соответствующий фазовый портрет системы представлен на рис. 1.3. Видно, что особые точки Xi = 0, ±27г, ±47г, ... — типа центр, а х\ = ±7г, ±37г,... — неустойчивые точки типа седло. 20
Лекция 1. Динамические системы
Вблизи центров фазовый портрет соответствует линейному осциллятору: траектории представляют собой замкнутые кривые, близкие к окружностям, отражающим характер малых по амплитуде колебаний, близких к гармоническим. Через неустойчивые точки проходят особые интегральные кривые Го, называемые сепаратрисами седла. Они разделяют фазовое пространство на области с различным поведением. С увеличением энергии маятника его колебания от квазигармонических вблизи точек типа центр эволюционируют к нелинейным периодическим колебаниям вблизи сепаратрис. Дальнейшее увеличение энергии приведет к вращательному движению (движения вне сепаратрис). Ситуация, когда энергия маятника соответствует движению по сепаратрисе, называется негрубой. Малейшие отклонения энергии в ту или иную сторону приводят к качественно различным типам движения: колебательному или вращательному.
Как видно из рис. 1.3, состояние маятника определяется углом его отклонения ОТ положения равновесия Xi и скоростью X2 5 но для значений х\, отличающихся на целое число 2шг, динамика системы идентична. Поэтому плоскость переменных Х\, X2 не является, строго говоря, фазовой плоскостью системы в силу отсутствия однозначности. Пока речь идет о движениях, изображающие траектории которых лежат внутри сепаратрисного контура, то есть о колебаниях в окрестности центра, неясностей не возникает. Но в случае, если энергия системы превышает критическое значение и движение становится вращательным, фазовая плоскость не годится для однозначного описания и в рассмотрение вводят цилиндрическое фазовое пространство [6].
Линейный осциллятор с затуханием. Диссипация энергии, обусловленная наличием потерь, оказывает принципиальное влияние на характер движения системы. Наиболее простые закономерности проявляются в системах с полной диссипацией энергии, когда силы трения действуют по всем степеням свободы, а поступление энергии извне отсутствует. Рассмотрим процессы в линейном диссипативном осцилляторе, когда сила трения пропорциональна скорости изменения координаты. Примером такой системы служит колебательный контур, содержащий активное сопротивление R. Уравнение контура
