Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
35
Суть дела заключается в том, что речь идет все о тех же бифуркациях, но при этом выбирается один из типов — так называемые жесткие бифуркации. Для пояснения рассмотрим два простых примера. В первом случае (см. рис. 2.2) в результате бифуркации исходное стационарное состояние теряет устойчивость и рождаются два новых устойчивых стационарных состояния. При этом вновь появившиеся два стационарных состояния (рис. 2.2,в) расположены в непосредственной близости от исходного состояния, которое потеряло устойчивость (помечено звездочкой). Бифуркации такого типа называют мягкими, имея в виду то, что вновь родившийся режим функционирования системы как бы появляется из режима, потерявшего устойчивость, и сосуществует рядом с ним.
Рис. 2.2. Пример мягкой бифуркации. Стационарное состояние (а) теряет устойчивость (б) и вблизи него появляются два новых устойчивых стационарных состояния (в).
Другой пример бифуркации качественно представлен на рис. 2.3. При /і < /і* (рис. 2.3,а) шарик находится в устойчивом стационарном состоянии. При этом существует еще одно, неустойчивое состояние (помечено звездочкой). В точке бифуркации /І = /і* устойчивое и неустойчивое состояния сливаются в одно (рис. 2.3,6). Далее они исчезают и система выбирает новый режим (например, как это показано на рис. 2.3,в), который существенно отличается от предыдущего и не находится в непосредственной близости от исходного режима. Такой тип бифуркаций называют жестким и именно жесткие бифуркации явились предметом анализа в теории катастроф.
Рассмотренный выше пример бифуркации "двукратное равновесие" в системе (2.8) представляет собой типичный пример жесткой бифуркации, который качественно проиллюстрирован на рис. 2.3. 36
Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы
а б в
Рис. 2.3. Жесткая потеря устойчивости стационарным состоянием, катастрофа. Качественная иллюстрация бифуркации "двукратное равновесие" (рис. 2.1).
Заключение
В результате безусловно упрощенного, качественного описания проблемы устойчивости и бифуркаций динамических систем можно, тем не менее, сделать определенные выводы. Эволюция любых систем сопровождается потерей устойчивости одними режимами функционирования и бифуркационными переходами их в новые. Эти "фазовые переходы" могут осуществляться плавно, мягко, а могут происходить скачкообразно, в виде катастроф. Строгий математический анализ устойчивости и бифуркаций позволяет сегодня практически рассматривать широкий спектр проблем, связанных с исследованиями бифуркационных переходов в различных динамических системах. Но при этом необходимо опираться на строгие математические результаты и использовать обоснованные методы теоретического и качественного анализа. Лекция З
Детерминированный хаос
Методом качественного анализа дается обоснование возможности существования непериодических режимов колебаний в детерминированных динамических системах. Приводится определение детерминированного хаоса и обсуждаются его свойства.
In this lecture the substantiation of the possibility of existence of non-periodical regimes in deterministic dynamical systems is given by means of the qualitative analysis. The definition of the term "deterministic chaos" is presented and then its properties are discussed. 38
Лекция 3. Детерминированный хаос
Введение
Хаотические процессы в детерминированных нелинейных диссипа-тивных системах — одна из фундаментальных проблем современного естествознания, являющаяся предметом пристального внимания исследователей [3-5, 9-14]. Убедительно доказано, что в таких системах причина генерирования сложных колебательных процессов, которые могут не отличаться по физическим характеристикам от истинно случайных, кроется не в большом числе степеней свободы и не в наличии флук-туаций, как ранее полагалось, а в экспоненциальной неустойчивости режимов, порождающей чувствительную зависимость от точности задания начального состояния системы. Возможность подобных явлений прекрасно понимал и предвидел А. Пуанкаре. В неустойчивых системах . .совершенно ничтожная причина, ускользающая от нас по своей малости, вызывает значительное действие, которого мы не можем предусмотреть. ...Предсказание становится невозможным, мы имеем перед собой явление случайное". Так писал он еще в 1908 г. в книге "Наука и метод". Развитие идей А. Пуанкаре в настоящее время привело к созданию фундамента хаотической динамики детерминированных систем. Как оказалось, необходимым условием возникновения хаоса в дифференциальных системах является размерность фазового пространства N ^ 3, и возбуждение незатухающих хаотических пульсаций становится принципиально возможным в генераторах всего с полутора степенями свободы.
В системах с одной степенью свободы, фазовым пространством которых служит двумерная плоскость, возможные динамические режимы исчерпываются состояниями равновесия и периодическими колебаниями (предельными циклами). Это обстоятельство многие годы служило психологическим барьером, преодолению которого не помогали даже очевидные (сейчас!) экспериментальные результаты. Ограниченность "нелинейного мышления" на базе фазовой плоскости понимали многие ведущие ученые, однако ввиду отсутствия соответствующего математического аппарата обоснованный выход с плоскости в пространство трех и более измерений был практически невозможен.
