Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Учитывая реальные сложности в обеспечении научных библиотек современной специальной литературой, в книге приводятся ссылки Предисловие
9
на минимальное число статей и книг, которые имеются в библиотеках. Заинтересованному читателю можно порекомендовать монографию В. С. Анищенко, Т. Е. Вадивасовой, В. В. Астахова "Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем" (Изд-во Сарат. ун-та, 1999 г.). В указанной монографии каждой из лекций настоящей книги соответствует подробная глава с достаточно полной библиографией.
В заключение хочу отметить, что материалы лекций, представленных в учебном пособии, базируются не только на достижениях мировой науки в этой области, но и включают результаты оригинальных исследований лаборатории нелинейной динамики СГУ за последние пятнадцать лет. Всем сотрудникам лаборатории я хотел бы выразить искреннюю благодарность. Особо хочу поблагодарить А.В.Климшина и Г. И. Стрелкову за большой труд по подготовке рукописи к печати.
Профессор В. С. Анищенко Лекция 1
Динамические системы
В лекции дается математическое определение понятия динамической системы. На примере динамических систем, описываемых обыкновенными дифференциальными уравнениями, иллюстрируются все четыре типа решений: состояние равновесия, устойчивое периодическое решение, квазипериодическое и хаотическое решения. Вводится понятие странного аттрактора, обсуждаются основные свойства регулярных и хаотических решений.
In this lection a mathematical definition of a dynamical system is formulated. Using dynamical systems, which are described by ordinary differential equations, all of four types of solutions: an equilibrium state, a stable periodic solution, quasiperiodic and chaotic solutions — are illustrated. A definition of a strange attractor is introduced, fundamental properties of periodic and chaotic solutions are discussed. Введение
11
Введение
Одной из важных научных проблем естествознания является решение задачи предсказания поведения изучаемого объекта во времени и пространстве на основе определенных знаний о его начальном состоянии. Эта задача сводится к нахождению некоторого закона, который позволяет по имеющейся информации об объекте в начальный момент времени to в точке пространства хо определить его будущее в любой момент времени t > to- В зависимости от степени сложности самого объекта этот закон может быть детерминированным или вероятностным, может описывать эволюцию объекта только во времени, только в пространстве, а может описывать пространственно-временную эволюцию.
Проблема предсказания эволюции объекта в естествознании представляет собой безусловно математическую задачу. Математическая логика требует от нас четкой формулировки предмета и задачи исследования. С этой целью необходимо сформулировать определение изучаемого объекта и указать его свойства. Предметом нашего анализа будут не системы и объекты вообще, а так называемые "динамические системы" в математическом понимании этого термина [1-5].
Динамическая система и ее математическая модель
Под динамической системой понимают любой объект или процесс, для которого однозначно определено понятие состояния как совокупности некоторых величин в данный момент времени, и задан закон, который описывает изменение (эволюцию) начального состояния с течением времени. Этот закон позволяет по начальному состоянию прогнозировать будущее состояние динамической системы и его называют законом эволюции. Динамические системы — это механические, физические, химические и биологические объекты, вычислительные процессы и процессы преобразования информации, совершаемые в соответствии с конкретными алгоритмами. Описание динамических систем в смысле задания закона эволюции также допускает большое разнообразие: оно осуществляется с помощью дифференциальных уравнений, дискретных отображений, с помощью теории графов, теории марковских цепей и т.д. Выбор одного из способов описания задает конкретный вид математической модели соответствующей динамической системы. 12
Лекция 1. Динамические системы
Математическая модель динамической системы считается заданной, если введены параметры (координаты) системы, определяющие однозначно ее состояние, и указан закон эволюции состояния во времени.
В зависимости от степени приближения одной и той же системе могут быть поставлены в соответствие различные математические модели. Исследование реальных систем идет по пути изучения соответствующих математических моделей, совершенствование и развитие которых определяется анализом экспериментальных и теоретических результатов при их сопоставлении. В связи с этим под динамической системой мы будем понимать именно ее математическую модель. Исследуя одну и ту же динамическую систему (к примеру, движение маятника), в зависимости от степени учета различных факторов мы получим различные математические модели. В качестве примера рассмотрим модель нелинейного консервативного осциллятора:
ж + sinx = 0, x = d2x/dt2. (1-1)
Как известно, функция sin ж аналитическая и ее разложение в ряд Тейлора выглядит так:
