Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Lq + Rq + q/C = 0 (1.22)
заменой переменных сводится к безразмерной форме
ж + 2(5± + ж = 0, 28 = RyfbJc, r = t/VbC.
(1.23)Фазовые портреты типовых колебательных систем
21
При $ = 0 имеем консервативный линейный осциллятор, рассмотренный выше. Введение малого трения качественно меняет фазовый портрет системы. Для 0 < 6 < 1 решением уравнения (1.23) является
X = Ае~5т софт + ф), CJ = (1-?2)1/2, (1.24)
где А игр — произвольные постоянные, определяемые начальными условиями. На фазовой плоскости для любых начальных данных имеют место скручивающиеся спирали, по которым фазовые точки асимптотически приближаются к началу координат, характеризуя затухающий колебательный процесс. Нуль координат является особой точкой системы, которая в случае S < 1 есть устойчивый фокус (рис. 1.4,а). Если коэффициент трения 6 > 1, процесс в системе апериодический:
ж = AieXlT + А2еХ2Т, Alj2 = [-S ± (S2 - 1)1/2]/2, (1.25)
и фазовые траектории имеют вид семейства характерных кривых, по которым, как и в предыдущем случае, изображающие точки стремятся к нулю координат (рис. 1.4,6). Особая точка в указанных условиях является устойчивым узлом.
Рис. 1.4. Фазовый портрет диссипативного осциллятора (1.23) с параметром S < 1 (а) и S > 1 (б).
Итак, при любых значениях физических параметров системы, когда 6 > 0, диссипативный маятник характеризуется единственным глобально устойчивым состоянием равновесия в нуле фазовых координат.22
Лекция 1. Динамические системы
Независимо от выбора начальных условий наблюдается затухающее колебательное или апериодическое движение. При t —оо любая (!) изображающая точка стремится к началу координат в устойчивый фокус либо узел.
Описанное свойство является общим для динамических систем с полной диссипацией энергии. Положения равновесия типа устойчивого фокуса или узла являются здесь глобально притягивающими в том смысле, что фазовые траектории из любой точки фазового пространства асимптотически к ним стремятся. Стационарные незатухающие колебания в линейных диссипативных системах оказываются невозможными. С физической точки зрения это понятно — нет условий поддержания колебаний. Энергия, расходуемая на преодоление сил трения, не восполняется.
Автоколебательные системы
Возможность существования периодического асимптотически устойчивого движения, которое изображается изолированной замкнутой траекторией в фазовом пространстве системы, к которой со временем притягиваются траектории из некоторой окрестности независимо от начальных условий, обеспечивается только в нелинейных диссипативных системах. Этот тип динамических систем настолько важен при изучении колебательных процессов, что для его выделения A.A. Андронов предложил специальный термин — автоколебательные системы [6]. Математическим образом автоколебаний служит предельный цикл Пуанкаре — замкнутая изолированная траектория в фазовом пространстве, отвечающая периодическому движению.
В качестве примера динамической системы с предельным циклом Пуанкаре рассмотрим классический нелинейный осциллятор Ван дер Поля, уравнение колебаний которого
Параметр а, характеризующий подкачку энергии в систему от внешнего источника, является существенным параметром осциллятора и называется параметром возбуждения. Из сравнения уравнений (1.26) и (1.23) следует, что осциллятор Ван дер Поля описывает более сложный колебательный контур, характер и значение диссипации в котором зависят от переменной X. В фазовых координатах уравнение колебаний осциллятора (1.26) представляется как
X — а( 1 — Ъх2)х + х = 0.
(1-26)
X1 = х2, X2 = а( 1 - Ъх\)х2 - X1 ,
(1.27)Автоколебательные системы
23
причем
а( 1 - Ьх\) ф 0.
(1.28)
Аналитически уравнения (1.27) не решаются и исследования проводятся с использованием численных методов. В практически важном случае (а > 0, b > 0) уравнения (1.27) имеют единственное устойчивое решение в виде предельного цикла Г, изображенного на рис. 1.5,а.
Рис. 1.5. Предельный цикл системы (1.26); расчет для значений параметров а = 1, b = 0.3 (а). Проекция двумерного тора на плоскость переменных х\, х2\ численное интегрирование уравнений (1.29) для значений параметров а = 1, Ъ = 0.3, В = 1.0, сро = 0 (б).
Положение равновесия в начале координат, в котором вблизи нуля можно пренебречь нелинейностью, при а > 0 является неустойчивым фокусом. Траектории из окрестности состояния равновесия асимптотически стремятся к предельному циклу. Как показывает анализ, предельный цикл является устойчивой изолированной структурой, притягивающей к себе траектории из любой точки на фазовой плоскости.
Таким образом, в динамических системах с нелинейной зависимостью диссипации энергии от переменной, совершающей колебания, впервые появляется принципиально новый тип устойчивого предельного множества фазовых траекторий: предельный цикл. Расчеты свиде-
а
б24
Лекция 1. Динамические системы
тельствуют, что на предельном цикле за время периода колебаний доли рассеиваемой и вносимой энергии строго компенсируются.