Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
где x(t) — переменная состояния, F — некоторая функция состояния, характеризующая закон эволюции, ? — параметр системы. Если задано начальное состояние ж (to), то существует единственное решение уравнения (2.1), которое предсказывает будущее состояние x(t) для любых t > to. Если число переменных состояния равно двум (или более), то моделью будет система двух (или более) уравнений:
Число параметров также может быть больше, чем один.
В связи с тем, что проблема устойчивости связана с анализом реакции системы на малое возмущение ее состояния, на первом этапе
d-^=i = F(x,?),
(2.1)
±i = Fi(xi, х2, ?), X2 = F2(хі, х2, ?).
(2.2) 30
Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы
она может быть исследована в рамках линейного приближения. Поясним это. Пусть х°(t) есть некоторое частное решение уравнения (2.1). Устойчивость этого решения (состояния) мы хотим исследовать. Введем в рассмотрение переменную у(?), которая задает малое отклонение от частного решения:
y(t) = x(t)-x°(t), (2.3)
(здесь x(t) — возмущенное решение).
Наша задача состоит в исследовании эволюции во времени малого возмущения y(t): которая подчиняется уравнению (2.1). Разложим функцию F в степенной ряд в окрестности частного решения х° (t):
ПУ) =
dF_
dx
y(t)
X=X0 {t)
d2 F dx2
y2(t)
(2.4)
X=X0 {t)
Производные функции F должны вычисляться в точках, соответствующих частному решению.
Перепишем уравнение (2.1) для возмущения y(t) с учетом (2.4):
y(t) = F(y, ?) =
dF
dx
у(і) + Ф(у),
(2.5)
X=X0 (t)
где
л d"F Ф{У) =
y2(t) + ... (2.6)
x=x°{t)
Слагаемые Ф (у) включают все члены с уп (п ^ 2), то есть учитывают нелинейные добавки. По определению переменная y(t) есть малое отклонение от частного решения. Поэтому нелинейными членами в уравнении (2.5) в первом приближении можно пренебречь.
Таким образом, для эволюции малого возмущения мы получаем линейное уравнение:
dF
у = A(t)y, где A(t) = —
(2.7)
ем:
x=x°(t)
Рассмотрим пример. Пусть динамическая система задана уравнени-x = a-bx2, а > 0, b > 0. (2.8)
Найдем стационарные состояния этой системы и исследуем их устойчивость. В стационарном состоянии изменений во времени нет, значит Бифуркации динамических систем
31
X = О и мы получаем:
(2.9)
Рассмотрим уравнение для возмущений (2.7) применительно к первому стационарному состоянию х\.
Решением уравнения (2.10) будет у = ехр(А?). Возмущение у экспоненциально затухает во времени (Л есть отрицательное число). Это означает, что состояние X1 устойчиво! Так как второе состояние х\ отличается от первого только знаком, то решение уравнения (2.10) в этом случае будет экспоненциально нарастающим во времени. Стационарное состояние X2 неустойчиво!
Достаточно простая идея предсказания устойчивости по линейному приближению оказалась весьма плодотворной. Используя математический формализм, можно обобщить результат (2.7) на случай двух и более переменных состояния. Например, в случае N = 2 уравнение (2.7) примет вид:
но в окрестности стационарных состояний, то уравнение (2.2) может иметь в качестве решения не только стационарные, но и периодические решения. С увеличением размерности исходной системы (2.1) в общем случае усложняются и типы возможных решений. Это создает определенные проблемы в исследовании устойчивости: ведь для решения уравнений для возмущений типа (2.7) необходимо знать частное решение x°(t)\ С применением современных компьютеров эти трудности легко преодолимы.
Бифуркации динамических систем
у = -(2 Ьх\)у = (-2 Vab)y = Xy.
dF о ГТ
А = — = -2 Vab.
(2.10)
У і = an г/1 + а12у2
(2.11)
2/2 = «212/1 + «222/2,
Если внимательно присмотреться к окружающей нас природе, то можно, в частности, сделать следующее интересное наблюдение. Жизнь 32
Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы
на планете Земля возможна лишь благодаря тепловому излучению Солнца, которое служит источником энергии. Летом эта энергия в северном полушарии больше, чем зимой. И картина летней природы при этом заметно отличается от зимней. Давайте рассмотрим в качестве примера объем воды в озере. Количественной мерой привносимой солнечной энергии является температура воды (точнее, энергия пропорциональна температуре). Летом вода в озере теплая и можно купаться. С наступлением осени температура воды постепенно уменьшается. Купаться уже не хочется, однако вода и при более низкой, но плюсовой температуре, остается водой! Глубокой осенью верхний слой воды в озере остывает до нулевой температуры и вдруг превращается в лед! Далее и при —20°С лед остается льдом. Что же произошло? При прохождении температуры через нуль вода резко изменила свои свойства: она из жидкого состояния перешла в твердое. И не плавно, а скачком.
Если рассматривать температуру воды как некий параметр системы, то хорошо известно, что с изменением параметра вода резко меняет свои свойства при переходе через 0°С, через 100°С, когда вода превращается в пар. Есть и другие особые значения температуры воды. Оказывается, что большинство интересных физических задач при их математическом описании приводят к дифференциальным уравнениям, зависящим от одного или нескольких параметров.
