Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Анищенко В.С. -> "Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора " -> 11

Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.

Анищенко В.С. Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора — Институт компьютерных исследований , 2002. — 144 c.
Скачать (прямая ссылка): znakomstvosnelineynoydinamikoy2002.pdf
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 49 >> Следующая


Рассмотрим в качестве примера уравнения колебаний обыкновенного маятника или (что с математической точки зрения полностью идентично) параллельного RLC-контура:

X + ах jTuolx = 0 . (2.12)

Уравнение (2.12) содержит два параметра: а — параметр затухания, характеризующий трение, и luq — параметр, определяющий частоту колебаний. Если потери энергии отсутствуют, параметр затухания а = 0, то решением уравнения (2.12) будут гармонические незатухающие колебания. При малом трении 0 < а < 1 движение системы будет колебательным с амплитудой, которая уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Наконец, при достаточно большом трении (а > 1) движение маятника будет апериодическим, затухающим во времени. Уже в этом простом примере выделяются два особых значения параметра а = 0 и а = 1, отклонения от которых качественно меняют свойства системы.

Изменение параметра в уравнении может вызвать потерю устойчивости одного состояния (или режима функционирования) системы и Бифуркации динамических систем

33

переход ее в другое, отличное от первого, состояние. Это явление называется бифуркацией (от слова раздвоение), а значение параметра, при котором оно происходит — точкой бифуркации. Состояние системы ниже точки бифуркации и выше ее при изменении параметра все-таки меняется. Ясно, что вода при температуре +3°С и +22°С — это разные состояния. Но при этом вода остается водой! В математике и физике существует понятие грубости или структурной устойчивости. Суть этого понятия в том, что при малом изменении параметра грубая система хоть и изменяет в деталях режим функционирования, но не принципиально. С этой точки зрения для грубых систем переход через точку бифуркации означает смену одного структурно устойчивого режима на другой. При этом в точке бифуркации система не является грубой: малое изменение параметра в ту или иную сторону приводит к резким изменениям состояния.

Давайте вернемся к нашему примеру с устойчивостью стационарных состояний в системе (2.8). Мы условились, что в уравнении (2.8) параметры аиЬ положительны. Устойчивость определяется знаком производной правой части уравнения (2.8) в стационарной точке, то есть знаком величины Л (2.10). При положительных значениях параметров а и b эта производная всегда отлична от нуля. А что если мы будем уменьшать значение параметра а? Как видно из (2.10) при а = 0 (независимо от величины b > 0) величина Л обращается в нуль, возмущение у не нарастает и не затухает! Мало того, при а = 0 в системе два состояния равновесия как бы сливаются в одно (х = 0)! Далее, если, а < 0, то состояний равновесия нет вовсе! Действительно, в этом случае

X^ 2 = т0 есть становятся чисто мнимыми.

Приведем теперь результаты математического анализа этой бифуркации, которая известна как бифуркация "двукратное равновесие". Вновь рассмотрим уравнение (2.8). Пусть X0(а) есть грубое состояние равновесия, то есть А (а) ф 0. Это означает, что при малой вариации параметра а равновесие X0 (а) продолжает существовать как устойчивое или неустойчивое.

При некотором значении параметра а = а* собственное число Л (а*) в положении равновесия может обратиться в нуль:

U ї dF Ка) = to

= 0, а = а*. (2.13)

гО

Для реализации бифуркации "двукратное равновесие" необходимо, что- 34

Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы

бы вторая производная была отлична от нуля

d2F dx2

Рис. 2.1. Бифуркация "двукратное равновесие". При а > 0 в системе (2.8) два стационарных состояния Xi и х^21 при а = О они сливаются в одно и при а < 0 стационарные состояния исчезают.

Ф 0. (2.14)

о

Для выполнения условий (2.13) и (2.14) в общем случае необходимо, чтобы исходное уравнение в правой части включало как минимум квадратичное нелинейное слагаемое, как в нашем примере (2.8).

Если условия (2.13) и (2.14) выполнены, то ж0 есть двукратный корень исходного уравнения (2.8).

Значение параметра а* при котором выполняется условие (2.13), является точкой бифуркации. До точки бифуркации а > а* мы имеем 2 состояния равновесия. В точке бифуркации а = а* они сливаются в одно, далее при а < а* состояний равновесия в системе не будет! В нашем случае (2.8) а*=0.

Результаты можно представить графически (см. рис. 2.1).

"Мягкие" и "жесткие" бифуркации. Катастрофы

Несмотря на многолетнюю историю существования и развития классической теории устойчивости и бифуркаций, наступил момент (как это часто бывает), когда к этой теории было вдруг привлечено всеобщее внимание. Причиной тому послужили популярно изложенные версии работ французского математика Рене Тома по так называемой теории катастроф. Теория катастроф в начале семидесятых годов стала модной, понятной (как им казалось!) для неспециалистов и универсальностью своих претензий стала напоминать псевдонаучные теории прошлых времен. В чем же суть дела? Появление теории катастроф Р. Тома специалистами было воспринято нормально. Ряд результатов этой теории заслуживает самого глубокого уважения. Но "философского" открытия здесь нет. Поясним, почему. "Мягкие" и "жесткие" бифуркации. Катастрофы
Предыдущая << 1 .. 5 6 7 8 9 10 < 11 > 12 13 14 15 16 17 .. 49 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed