Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
Рассмотрим в качестве примера уравнения колебаний обыкновенного маятника или (что с математической точки зрения полностью идентично) параллельного RLC-контура:
X + ах jTuolx = 0 . (2.12)
Уравнение (2.12) содержит два параметра: а — параметр затухания, характеризующий трение, и luq — параметр, определяющий частоту колебаний. Если потери энергии отсутствуют, параметр затухания а = 0, то решением уравнения (2.12) будут гармонические незатухающие колебания. При малом трении 0 < а < 1 движение системы будет колебательным с амплитудой, которая уменьшается во времени по экспоненциальному закону. Наконец, при достаточно большом трении (а > 1) движение маятника будет апериодическим, затухающим во времени. Уже в этом простом примере выделяются два особых значения параметра а = 0 и а = 1, отклонения от которых качественно меняют свойства системы.
Изменение параметра в уравнении может вызвать потерю устойчивости одного состояния (или режима функционирования) системы иБифуркации динамических систем
33
переход ее в другое, отличное от первого, состояние. Это явление называется бифуркацией (от слова раздвоение), а значение параметра, при котором оно происходит — точкой бифуркации. Состояние системы ниже точки бифуркации и выше ее при изменении параметра все-таки меняется. Ясно, что вода при температуре +3°С и +22°С — это разные состояния. Но при этом вода остается водой! В математике и физике существует понятие грубости или структурной устойчивости. Суть этого понятия в том, что при малом изменении параметра грубая система хоть и изменяет в деталях режим функционирования, но не принципиально. С этой точки зрения для грубых систем переход через точку бифуркации означает смену одного структурно устойчивого режима на другой. При этом в точке бифуркации система не является грубой: малое изменение параметра в ту или иную сторону приводит к резким изменениям состояния.
Давайте вернемся к нашему примеру с устойчивостью стационарных состояний в системе (2.8). Мы условились, что в уравнении (2.8) параметры аиЬ положительны. Устойчивость определяется знаком производной правой части уравнения (2.8) в стационарной точке, то есть знаком величины Л (2.10). При положительных значениях параметров а и b эта производная всегда отлична от нуля. А что если мы будем уменьшать значение параметра а? Как видно из (2.10) при а = 0 (независимо от величины b > 0) величина Л обращается в нуль, возмущение у не нарастает и не затухает! Мало того, при а = 0 в системе два состояния равновесия как бы сливаются в одно (х = 0)! Далее, если, а < 0, то состояний равновесия нет вовсе! Действительно, в этом случае
X^ 2 = т0 есть становятся чисто мнимыми.
Приведем теперь результаты математического анализа этой бифуркации, которая известна как бифуркация "двукратное равновесие". Вновь рассмотрим уравнение (2.8). Пусть X0(а) есть грубое состояние равновесия, то есть А (а) ф 0. Это означает, что при малой вариации параметра а равновесие X0 (а) продолжает существовать как устойчивое или неустойчивое.
При некотором значении параметра а = а* собственное число Л (а*) в положении равновесия может обратиться в нуль:
U ї dF Ка) = to
= 0, а = а*. (2.13)
гО
Для реализации бифуркации "двукратное равновесие" необходимо, что-34
Лекция 2. Устойчивость, бифуркации, катастрофы
бы вторая производная была отлична от нуля
d2F dx2
Рис. 2.1. Бифуркация "двукратное равновесие". При а > 0 в системе (2.8) два стационарных состояния Xi и х^21 при а = О они сливаются в одно и при а < 0 стационарные состояния исчезают.
Ф 0. (2.14)
о
Для выполнения условий (2.13) и (2.14) в общем случае необходимо, чтобы исходное уравнение в правой части включало как минимум квадратичное нелинейное слагаемое, как в нашем примере (2.8).
Если условия (2.13) и (2.14) выполнены, то ж0 есть двукратный корень исходного уравнения (2.8).
Значение параметра а* при котором выполняется условие (2.13), является точкой бифуркации. До точки бифуркации а > а* мы имеем 2 состояния равновесия. В точке бифуркации а = а* они сливаются в одно, далее при а < а* состояний равновесия в системе не будет! В нашем случае (2.8) а*=0.
Результаты можно представить графически (см. рис. 2.1).
"Мягкие" и "жесткие" бифуркации. Катастрофы
Несмотря на многолетнюю историю существования и развития классической теории устойчивости и бифуркаций, наступил момент (как это часто бывает), когда к этой теории было вдруг привлечено всеобщее внимание. Причиной тому послужили популярно изложенные версии работ французского математика Рене Тома по так называемой теории катастроф. Теория катастроф в начале семидесятых годов стала модной, понятной (как им казалось!) для неспециалистов и универсальностью своих претензий стала напоминать псевдонаучные теории прошлых времен. В чем же суть дела? Появление теории катастроф Р. Тома специалистами было воспринято нормально. Ряд результатов этой теории заслуживает самого глубокого уважения. Но "философского" открытия здесь нет. Поясним, почему."Мягкие" и "жесткие" бифуркации. Катастрофы