Знакомство с нелинейной динамикой: Лекции соросовского профессора - Анищенко В.С.
Скачать (прямая ссылка):
5 00 ™4п+1 00 гуАп — 1
Jb Jb ^ Л Jb ^ Л Jb , V
ems = *- зг + й—¦ = Е(ІЇГГЇ)! - ?(4^Ї)ґ (1-2)
n=0 v 7 n=0 v 7
При малых X <С 1, sin ж х. С увеличением х требуется учет второго, третьего и т.д. членов ряда, чтобы с заданной точностью аппроксимировать sin ж. Поэтому в случае х « 1 мы получаем самую простую модель математического маятника:
ж + ж = 0. (1.3)
Следующим приближением будет модель нелинейного маятника:
(1.4)
и так далее. На рис. 1.1 приведены результаты аппроксимации функции sin ж конечным числом членов ряда для п = 1, 3,.... 43. Для каждого конкретного значения п мы будем получать новую динамическую систему, в заданном приближении описывающую процесс колебаний физического маятника.
6 Кинематическая интерпретация системы.
13
Рис. 1.1. Аппроксимация функции sin ж конечным числом членов ряда (1.2) для п = 1, 3,..., 43.
Кинематическая интерпретация системы дифференциальных уравнений
Рассмотрим динамические системы, моделируемые конечным числом обыкновенных дифференциальных уравнений. Применительно к таким системам сохранились представления и терминология, первоначально возникшие в механике. В рассматриваемом случае для определения динамической системы необходимо указать объект, допускающий описание состояния заданием величин xi, Х2,..., хдг в некоторый момент времени t = to. Величины Xi могут принимать произвольные значения, причем двум различным наборам величин Х{ и х\ отвечают два разных состояния. Закон эволюции динамической системы во времени записывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений
dx¦
-JjT = Xi = /і(хьх2,... ,xN), і = 1,2,..., N. (1.5)
Если рассматривать величины х\, ..., хдг как координаты точки X в iV-мерном пространстве, то получается наглядное геометрическое представление состояния динамической системы в виде этой точки. Последнюю называют изображающей, а чаще — фазовой точкой, а пространство состояний — фазовым пространством динамической системы. Изменению состояния системы во времени отвечает движение фазовой точки вдоль некоторой линии, называемой фазовой траекторией. В фазовом пространстве системы уравнениями (1.5) определяется векторное поле скоростей, сопоставляющее каждой точке х выходящий из нее вектор скорости F(x), компоненты которого даются правыми ча- 14
Лекция 1. Динамические системы
стями уравнений (1.5):
[/і(хЬЖ2, . . - ,ЖАГ),/2(ЖЬЖ2, . . . ,Ждг), . . . ,/дг(жьж2, . . . ,XN)}. (1.6)
Динамическая система (1.5) может быть записана в векторной форме:
где F(x) — вектор-функция размерности N.
Необходимо уточнить взаимосвязь понятий числа степеней свободы и размерности фазового пространства динамической системы. Под числом степеней свободы понимается наименьшее число независимых координат, необходимых для однозначного определения состояния системы. Под координатами первоначально понимались именно пространственные переменные, характеризующие взаиморасположение тел и объектов. В то же время для однозначного решения соответствующих уравнений движения необходимо, помимо координат, задать соответствующие начальные значения импульсов или скоростей. В связи с этим система с п степенями свободы характеризуется фазовым пространством размерности в два раза большей (N = 2п).
Классификация динамических систем
Если динамическая система задана уравнением (1.7), то постулируется, что каждому x(to) в фазовом пространстве ставится в соответствие состояние x(t) (t > to)? куда за время t —to переместится фазовая точка, движущаяся в соответствии с уравнением (1.7). В операторной форме (1.7) можно записать в виде
где Tt — закон (оператор) эволюции. Если этот оператор применить к начальному состоянию x(to), то мы получим x(t), то есть состояние в момент времени ? >t0- Так как х(to) и x(t) принадлежат одному и тому же фазовому пространству динамической системы, то математики говорят в данной ситуации: оператор Tt отображает фазовое пространство системы на себя. В соответствии с этим можно называть оператор Tt оператором отображения или просто отображением. Если известно отображение для моментов времени t > Ohs > 0, то соответствующее отображение для момента времени t + s в определенных случаях может быть получено в соответствии с правилом:
x = F(x)
(1.7)
x{t) = Ttx(t0)
(1.8)
TtTs = Tt+,, t > 0, s>0.
(1.9) Колебательные системы и их свойства
15
Динамические системы можно классифицировать в зависимости от вида оператора отображения и структуры фазового пространства. Если оператор предусматривает исключительно линейные преобразования начального состояния, то он называется линейным. Линейный оператор обладает свойством суперпозиции: T[x(t) + y(t)] = Tx(t) + Ty(t). Если оператор нелинейный, то и соответствующая динамическая система называется нелинейной. Различают непрерывные и дискретные операторы и соответственно системы с непрерывным и дискретным временем. Системы, для которых отображение x(t) с помощью оператора T может быть определено для любых t > to (непрерывно во времени) , называют также потоками по аналогии со стационарным течением жидкости. Если оператор отображения определен на дискретном множестве значений времени, то соответствующие динамические системы называют каскадами, или системами с дискретным временем.
