Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Новые результаты Рюэля - Такенса в сравнении с концепцией Ландау сводятся к следующему.
1. Хаотическое движение не является квазипериодическим.
2. Этому движению присуща неустойчивость по Ляпунову индивидуальных траекторий в фазовом пространстве.
3. Число бифуркаций, сопровождающих переход к хаосу через квазн-периодические режимы, конечно.
Открытие Рюзлем и Таксисом странного аттрактора, безусловно, является фундаментальным шагом ь изучении турбулентного движения. Однако и концепция Рюэля - Такенса уязвима для критики. Так, конечным является не число бифуркаций, а число существенных мод, обеспечивающих переход к хаосу. Кроме того, нельзя игнорировать экспериментальные результаты по наблюдению многомерных торов.
В применении концепции странных аттракторов для анализа турбулентности существенна размерность притягивающего хаотического множества в фазовом пространстве системы. Знание размерности аттрактора позволяет количественно оценить число задействованных в движении степеней свободы. Если размерность конечна и относительно мала, то моделирование процессов в распределенных системах возможно с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений.
За последние S лет в указанном направлении получены важные результаты, вселяющие оптимизм в отношении конструктивного использования достижений теории динамических систем в изучении общей проблемы турбулентности сплошной среды. Число оригинальных работ по данному вопросу заметно растет и позволяет сейчас по-новому подойти к анализу и интерпре сации полученных ранее экспериментальных данных.
Здесь описаны некоторые результаты теории и экспериментов по использованию динамического подхода к моделированию развития турбулентности.
14.2. Переход к хаосу через маломерный аттрактор в течении Куэтта - Тейлора
Возможность описания турбулентности вязкой жидкости при малой надкритичности с помощью конечного числа обыкновенных дифференциальных уравнений в принципе не вызывала сомнений давно [23, 258] *). Неизменно возникал вопрос: сколько и какие уравнения необходимо использовать для удовлетворительного описания конкретных течений при различных числах Рейнольдса? Детальные теоретические и экспериментальные исследования некоторых конкретных течений (например, тепловая конвекция в ячейке Хеле - Шоу) приводили к удовлетворительным ре-
Для описания развитой турбулентности используются уравнения полуфено-менологическоП теории. В отличие о г уравнений динамики они включают явные характеристики, отражающие сложность турбулентного движения (турбулентная вязкость, к примеру).
280 зульгзтам, получение которых было сопряжено с чрезвычайными трудностями.
Как стало ясно и? экспериментов, для более сложных течений число уравнений аппроксимации становится весьма большим. Это затрудняет анализ при сопоставлении численных и физических экспериментов, так как априори строго не известно число задействованных степеней свободы. Кроме того, формальное ограничение рядов аппроксимирующих функций методами типа Галерки на. как правило, приводит к изменениям тонких топологических характеристик аттракторов, которые могут иметь мало общего с установившимися движениями в исходной распределенной системе. Указанные сложности ставят под сомнение взаимосвязь построенных путем конечномерных аппроксимаций аттракторов с реальными движениями турбулентной средь: [258].
Существенным облегчением решения задачи конечномерной аппрок-счмании может послужить информация о размерности аттрактора потока жкдкэсти в конкретном режиме турбулентного движения. Значение размерности, если оно известно, дает определенную ясность в отношении числа модельных уравнешгй и позволяет сократить объем вычислительных работ на ЭВМ, придав им более целенаправленный характер.
С указанной точки зрения важной является работа коллектива авторов [102J, в которой на примере течения Куэтта - Тейлора убедительно показывается, что, но-первых, переход к турбулентному движению в течении жидкости происходит через аттрактор наименьшей фрактальной размерности 2 + d и, во-вторых, даже при заметном превышении порога возникновения турбулентности (более чем на 30%) размерность странного аттрактора относительно мала (не более пяти)
Течение Куэтта - Тейлора являет собой пример так называемых внутренних (или ограниченных) течений и удобно для экспериментальных исследований мягкого поэтапною перехода к турбулентности в замкнутом потоке движущейся жидкости. Экспериментальное устройство включает два коаксиальных цилиндра радиусами г, и г2, пространство между которыми заполняется водой постоянной температуры. Движение жидкости обеспечивается вращением внутреннего цилиндра с частотой и>„,. Изменение скорости вращения позволяет варьировать число Рейнольдса
Re = wm (г2 -- г,)1 тг, (14.1)
где 1? - вязкость.
Скорость движения жидкости регистрируется с использованием лазерного доплеровского измерителя, не возмущающего поток. Обработка данных измерений осуществляется автоматизированной системой, базирующейся на ЭВМ.
