Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Явление пространственной хаотической синхронизации, установленное экспериментально и подтвержденное аналитически на декретной модели, сопровождается стабшшзацисй физических характеристик колебаний вдоль цепочки. В физическом эксперименте это проявляется в насыщении спектров мощности и постоянстве геометрической структуры аттракторов, диагностируемой по визу проекций фазовых траекторий на пчос-
291 кость переменных Xf, у/. Желательно проведение численных экспериментов, позволяющих более детально исследовать это явление.
Численный анализ системы (14.3) дает возможность получения вышеуказанных характеристик колебаний и позволяет исследовать пространственную эволюцию по / ляпуновской размерности аттракторов, плотности распределения вероятностей и автокорреляционной функции для различных значений управляющих параметров. Кроме того, вычисления можно проводить с учетом влияния флуктуаций, всегда присутствующих в физическом эксперименте. Обратимся к ланжевеновским уравнениям цепочки связанных генераторов, учитывающих влияние малых собственных флуктуаций,
X, = mxf +уі-х1г/+ух1_1 +{,(т),
У, = -*/ + Ыт), (14.8)
где в сравнении с (14.3) добавлен ?-коррелированный шум интенсивности D с нулевым средним значением. Полагая в (14.8) D- 0, имеем динамическую систему (14.3), в то время как решения стохастических уравнений (14.8) моделируют процессы в реальной системе, подверженной действию флуктуаций.
С целью экономии машинного времени в качестве исходного режима работы индивидуальных генераторов цепочки выберем режим хаотических колебаний, зафиксировав параметры т = 1,16, g = 0,3. В этом случае аттрактор в парциальном генераторе являет собой 2-тактную ленту. В спектре мощности выделены гармоники основной и половинной частот, его ляпуновская размерность Dl , соответствующая спектру ЛХП (+0,0376, 0, -0,203), равна 2,187 ± 0,005. При численном моделировании в качестве исходного удобно выбрать режим хаотических колебаний, так как эффект синхронизации с введением связи наступает здесь при относительно малых / > 5.
Эксперименты показали, что применение обычного алгоритма расчета полного спектра ЛХП системы (14.3) в случаях слабой связи у < 0,1 и j > 1 не эффективно. Требуется необычайно много часов машинного времени. Однонаправленность связи в цепочке, приводящая к упрощению вида линеаризованной матрицы системы, позволяет для данного класса задач усовершенствовать алгоритм вычисления полного спектра ЛХП (и, следовательно, размерности Dit), что сокращает затраты машинного времени более чем в десять раз и увеличивает точность [263,264].
На рис. 14.8а представлены результаты расчетов размерности Dl (/) для различных значений коэффициента связи у. Видно, что для у > 0,1 имеет место эффект стабилизации размерности аттракторов вдо гь цепочки, уровень которой определяется степенью связи и уменьшается с ростом у. Рис. 14.86 иллюстрирует зависимости нормированных знтро-
п*
пии Колмогорова Ziu - L Xf /Л,, ляпуновской размерности Dl (y)jDL (0)
и числа положительных показателе:": полного спектра ЛХП п+(т)/м+ (0) от коэффициента связи для цеіочкч из і 0 генераторов. Увеличение связи
292 Рис 14.8. а - Зависимость ляпуновской размерности от длины цепочки генераторов при различной связи, б - Зависимость нормированных энтропии Колмогорова (кривая /). размерности (кривая 2) и числа положительных показателей спектра ЛХП (кривая J) от коэффициента связи
между генераторами приводит к резкому спаду всех указанных характеристик, свидетельствуя об упорядочивании хаотического движения с точки зрения уменьшения числа степеней свободы, активно задействованных в движении.
Становится ясиым, что эффект стабилизации хаотического движения вдоль цепочки связанных генераторов сопровождается выходом размерности аттракторов на постоянный уровень, определяемый коэффициентом связи. Так, например, для у = 0,2 в генераторах с / > 6 размерность Dl = 5,85 ± 0,005 и не зависит от порядкового номера генератора /.
Расчет основных статистических характеристик аттракторов цепочки для / = 6.7, ... 10 (7 = 0,2) подтверждает результаты физических экспериментов: спектр мощности, функция распределения и автокорреляционная функция в режимах хаотической синхронизации практически индентичны для всех генераторов цепочки, начиная с некоторого 7*. Наблюдаются мелкомасштабные различия, обусловленные конечной длительностью используемых для статистической обработки реализаций процессов во времени. Если же провести расчеты указанных характеристик с введением малого шума интенсивности D=* IO"3, то указанные различия исчезают вовсе.
Последнее обстоятельство весьма существенно, так как свидетельствует о грубости хаотического режима автоколебаний в системе и о і и личности исследуемых решений, локализующихся в конечной области фазового пространства. Об этом же свидетельствует постоянство основных статистических свойств решений при вариации начальных данных в некоторой конечной области фазового пространства. Проведенные расчеты по-
293 0,5
P
