Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
При малых числах Рейнольдса течение ламинарно (течение Куэтта). По мере увеличения частоты вращения Ujm образуются вихри Тейлора, которые с ростом Re усложняются, и далее течение становится турбулентным.
Остановимся кратко на основных результатах [1021. Измерения проводились для значений Re в интервале IORe* ^ Re < 15Re*, где Re* - значение числа Рейнольдса, соответствующее появлению в системе вихрей Тейлора. Измерялась и анализировалась радиальная компонента вектора ско-
19. B.C. Аниіці-нко
281 г
H
ч
¦V-u. * а •—«»..>.
Re / Н? ~10,1
«
-S і*
К
б
ilv
и
"V
Re/Re*«= 12
Re/Re' - 15,2
Рис. 14.1. Сечения Пуанкаре трехмерного модельного фазового потока в течении Куэгга - Тейлора с ростом числа Рейнольдса [102) : а - Re/Re* =10,1.6-12, в - 15,2
Рис. 14.2. Зависимость старшего показателя спектра ЛХП (а) и фрактальной размерности (ff) от числа Рейнольдса ц»и переходе к турбулентному режиму в течении Куэгга [1021
рост течения и (г*), где tk = к At, к = 1, 2..... 32768, At = 6 мс. С целью
качественного анализа перехода к турбулентному движению строились его модельные фазовые портреты размерности т путем введения фазовых переменных в
m* { и(^), v(tk + т), v(tk + 2т).....v(tk + [m - Цт)> ,
где сдвиг по времени г может быть произвольным. На рис. 14.1 даны двумерные сечения Пуанкаре модельного фазового потока Для разных чисел Рейнольдса.
В результате анализа эволюции спектров мощности реализаций в совокупности с закономерностями трансформации фазовых портретов аттракторов системы установлено, что переходу к хаосу в течении Куэтта предшествует режим двухчастотных биений (замкнутая инвариантная кривая в отображении Пуанкаре — рис. 14.1 б) и рождение стохастичности обусловлено разрушением двумерного тора. Этот интересный результат, вообще говоря, был известен и ранее [23, 258, 259]. На основании его можно предполагать, что размерность тор-аттрактора должна быть не больше 2 + d. Однако утверждать последнее было бы опрометчиво.
Авторы [102] предприняли попытку непосредственной оценки размерности аттракторов, используя экспериментальные реализации v(Гк) и
282 метод расчета размерности по Tpaccfieprepy - Таксису. Эта попытка удалась. На рис. 14.2 представлены результаты расчета старшего показателя спектра ЛХП X і и нижней границы фрактальной размерности D11 в зависимости от числа Рейнольдса. Как видно из графиков, переход к хаосу (момент появления положительного показателя) осуществляется через тор-агцыктор, который с ростом числа Re плавно эволюционирует, увеличивая размерность. Заметное превышение порога критичности характеризуется конечной и малой размерностью агтрактора, которая для Re = = 15Re* имеет значение 4 + d < 5.
Таким образом, экспериментальными работами подтверждена предполагаемая ранее взаимосвязь странных аттракторов с гидродинамической турбулентностью по крайней мере для внутренних течений и малой надкритичности [102, 103J.
14.3. Развитие и свойства хаоса в полубесконечной однонаправленно связанной цепочке генераторов
Конечномерная природа перехода к турбулентности в ограниченных течениях может быть связана с затуханием высокочастотных мод за счет турбулентной вязкости, резко снижающей число активно задействованных в движении степеней свободы. Но отсюда вовсе не следует, что и в безграничных или полуограниченных гидродинамических течениях картина будет аналогичной. Кроме того, возможность и механизмы самопроизвольного развития хаотического движения в таких средах в отсутствие глобальной обратной связи пока окончательно не выяснены. В связи с этим чрезвычайную важность приобретают модельные численные и физические эксперименты, позволяющие имитировать нужную ситуацию и тем самым направленно проверять формирующиеся представления о возможных путях развития в пространстве хаотических колебаний. В этом плане радиофизические эксперименты обладают рядом преимуществ в сравнении с гидродинамическими.
Первая попытка численно смоделировать полубесконечную неравновесную диссипативную среду с потоком была удачно предпринята авторами [260] на примере цепочки однонаправленно связанных генераторов mm Ван дер Поля. Для описания поля в полуограниченной невзаимной среде использована дискретная модельная система вида
И/ + ОД Ui = My (1 - 6 I MjT I2), ДИу = Uj - М/_ ,, (14.2)
где / = 1, 2, 3,.... Ui, от и Ь - комплексные величины,/ - порядковый номер ячейки. В численных экспериментах исследовалась система уравнений (14.2) для or = et'(1 - /er"), 6 = 1- i?, где Ot', от" - положительные действительные числа. Анализировались спектры мощности амплитуды и фазы Ui (t) и вычислялась ляпуновская размерность аттракторов системы в зависимости от j (вдоль цепочки) при различных режимах работы парциальных генераторов и степени их взаимосвязи *).
*) Аттрактором цепочки из / связанных систем здесь и далее будем называть иньяриаптнос притягивающее множество в фазовом пространстве /.V измерений; .V - размерность парциальной системы.
19*
283 Эксперименты показали, что при малых коэффициентах связи (а' мало) в цепочке устанавливаются регулярные независимые колебания на частоте і а; I = ?, соответствующие локальным возбуждениям генераторов. Рост степени связи приводит к синхронизации генераторов цепочки, начиная с некоторого / = / >1. При дальнейшем увеличении связи система переходит в режим пространственно неоднородных периодических колебаний, сменяющихся далее режимом двухчастотных биений. Нелинейное взаимодействие коллективных и локальных, возбуждений приводит
