Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ческую аппроксимацию логнормальным законом [219]:
і i-> . (In х - х )s
(2я) / (ffjr)_1exp - '
р(х) =» v(x) =
2а
х>0,
(13.17)
0, х < 0,
где под X необходимо понимать разность х - xniin, Xinin - минимальное значение координаты х в одномерном распределении р(х), хна— параметры распределения.
Результаты аппроксимации расчетных данных (рис. 13.18д) теоретическими (13.17) представлены на рис. 13.18е. Теоретическое распределение (кривая 2) отвечает значениям параметров о - 0,40, х = 0,965. Видно, что теоретическое распределение удовлетворительно описывает огибающую экспериментального распределения (кривая 1). Качество аппроксимации становится хуже в области "хвостов" распределения, что в соответствии с (13.17) естественно.
275 Рис. 13.19. Эволюция одномерною распределения (слева) и соответствующего сечения Пуанкаре (справа) при i!epj\o,\c к хаосу -,epc двумерный тог. (фичичеекчй эксперимент)
Как и в случае аттрактора седло-фокусного типа, влияние малых флуктуаций (если не индуцируются бифуркационные переходы) приводит к сглаживанию мелкомасштабных структур распределений р(х). В частности, экспериментальные и теоретические кривые р(х) в режиме развитого тор-аттрактора при наличии шума оказываются более близкими. Для иллюстрации эффекта влияния малых флуктуаций на одномерные плотности распределения вероятностей удобно рассмотреть результаты измерений P(Jf) в эксперименте, когда воздействие шумов неизбежно присутствует.
276 Рис. 13Л0. Двумерное распределение р (х, у) на гладком горе (J) н в режиме тор-х»оса (б) (численный эксперимент) На рис. 13.19 дана серия фотографий, содержащая одномерные плотности распределения вероятностей р(х) и отвечающие им сечения Пуанкаре режимов колебаний при переходе к тор-хаосу. Видна эволюция вначале к унимодальному распределению на гладком двумерном торе, а затем через потерю гладкости - к унимодальному логнормальному закону в режиме развитого тор-хаоса. Качественное соответствие результатов не вызывает сомнений, подтверждая основные результаты численного счета и выводы о влиянии флуктуаций.
Совершенно ясно, что одномерного распределения р(х) для ответа на ряд вопросов, естественных при статистическом описании режимов тор-хаоса, недостаточно. Возникает потребность знать многомерное распределение. Эта задача пока не решена и вызывает вполне понятные трудности. Некоторые полезные выводы можно сделать, анализируя двумерные законы. В качестве примера приведем результаты расчетов двумерных плотностей распределения вероятностей р(х, у) для режимов гладкого двумерного тора (рис. 13.20а) и развитого тор-хаоса (рис. 13.206). Им отвечают одномерные плотности распределения вероятностей, показанные на рис. 13.186, д. Характерным свойством двумерных законов является их близость к симметричным, что обусловлено геометрической структурой тора и тор-аттрактора. ГЛАВА 14
ПЕРЕХОДЫ К ХАОСУ В РАСПРЕДЕЛЕННЫХ СИСТЕМАХ И СТРАННЫЕ АТТРАКТОРЫ
14.1. Странные аттракторы и турбулентность
Открытие странных аттракторов прояснило природу возникновения, структуру и свойства динамического хаоса в нелинейных диссипативных системах малой размерности. Может ли концепция странных аттракторов быть полезной в изучении сложной нерегулярной динамики нелинейных распределенных систем и сплошных сред с бесконечным числом степеней свободы? Существует ли и какова взаимосвязь странных аттракторов с гидродинамической турбулентностью? Вот основные вопросы, убедительного ответа на которые пока нет.
Считается, что одной из принципиальных черт хаотического движения в распределенных системах является большое число колебательных мод, задействованных в движении [30]. Для гидродинамической турбулентности получена теоретическая оценка для числа активных степеней свободы, которое растет с увеличением числа Рейнольдса по степенному закону. В режиме развитой трубулентноста число задействованных степеней свободы конечно, но очень велико.
Представления Ландау о турбулентности как квазипериодическом движении с множеством несоизмеримых частот (мод) отвечают указанным свойствам турбулентного движения. Полезно обратиться к фундаментальным идеям теории возникновения турбулентности по Ландау [88], развитием которых по существу являются современные представления о динамическом хаосе. Выводы Ландау следующие .
1. Существенно полезную информацию о турбулентном движении дает исследование бифуркационных механизмов его возникновения.
2. Развитая турбулентность формируется в результате бесконечной иерархии бифуркаций, связанных с потерей устойчивости вновь возникающими режимами автоколебаний.
Представления Ландау унаследованы в концепции Рюэля-Такенса и считаются сами собой разумеющимися. Однако нужно помнить, что эти идеи были высказаны Ландау в 1944 г., т.е. задолго до работы [27], и представлялись в то время далеко нетривиальными. Критика теории Ландау Рюзпем и Такенсом необоснованно отвлекла внимание от позитив-
279 ных элементов картоны Ландау, которые правильней было бы рассматривать как исходные фундаментальные нредставлеїзія о механизмах развитой хаотических колебаний.
