Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
кр
линия разрушения инвариантных
кривых L с рождением тор-аттрактора
255 а
08
Об
07
0,23
027
029
031 у
Рис. 13.8, Бифуркационная диаграмма системы (13.7)в окрестности резонанса 2/5
двупериодических неподвижных точек, потерявших устойчивость, мягко рождаются устойчивые инвариантные кривые Li и L2- Дальнейшее увеличение параметра а приводит к разрушению инвариантных кривых с рождением странного аттрактора (штриховая линия Z2p на рис. 13.7).
Исследуем механизм разрушения инвариантных кривых Li и L2, являющихся модельными образами двух двумерных торов, рождающихся из АСМ-циклов в дифференциальной системе (13.1) [237, 246]. Для этого найдем число вращения ф инвариантных кривых вдоль бифуркационной линии I0,которое задается выражением
где р - мультипликатор 2-цикла отображения, равный по модулю единице на линии нейтральности 10
На линии I0 число вращения меняется непрерывно, принимая значения в интервале 0,5 < ф < I?. Определив на линии I0 точку К резонанса 2/5, построим бифуркационную диаграмму для резонансного цикла на инвариантной окружности. Результаты расчетов представлены на рис. 13.8 и качественно находятся в соответствии с данными расчетов рис. 13.4. Проследим за механизмами разрушения резонансного тора, исследуя численно поведение неустойчивых сепаратрис седловых неподвижных точек на резонансной кривой L і ,иллюстрируемое рис. 13.9.
Инвариантное многообразие при резонансе образовано замыканием неустойчивых сепаратрис W" седловых точек Qi на устойчивые узлы Р/ (tW = 1. 2, . . . , 5). Вблизи основания резонансного клюва (точка К на рис. 13.8) это замыкание осуществляется гладко, производная в узле не терпит разрыва. Движение по направлению С рис. 13.8 вызывает колебания одной из ветвей неустойчивых сепаратрис (точки C2 и C3 рис. 13.9),
ф = arccos(Rep)/2ff,
(13.14)
256 развитие которых приводит к эффекту их пересечения с неведущими направлениями узлов (рис. 13.9, точка C4).
Для необратимой системы (13.7) можно рассчитать только неустойчивые сепаратрисы седловых точек и векторы, касательные к устойчивым сепаратрисам. С ростом параметра а происходит вначале негрубое касание, а затем и грубое пересечение неустойчивых и устойчивых сепаратрис седловых неподвижных точек - у цикла на резонансном торе возникает грубая гомоклиническая кривая. Момент рождения негрубой гомоклиники является бифуркационным. Инвариантная кривая при этом разрушается, а в ее окрестности рождается нетривиальное гиперболическое множество — предвестник странного аттрактора. Бифуркационная линия на плоскости параметров (рис. 13.8), отвечающая рождению негрубой гомоклиники, обозначена /д . Выше бифуркационной линии инвариантной замкнутой кривой L і уже нет. В дифференциальной системе это соответствует разрушению тора. Однако устойчивая неподвижная точка (или предельный цикл) внутри зоны синхронизации существует. Выход из области резонанса в направлении С приведет к исчезновению устойчивой неподвижной точки на линии седло-узловой бифуркации /,, и произойдет жесткий переход в
ІІ/
X 1,0 0,8
^ИЛ-ч. C2 1.1. Ct- 0.699. I
0,649 0,647 0,645
И'!L? а »0,702 -
і.!, < : j— і
а о 0,715
lSSv
-S/
C4 I / Г
0,65
0,60
1,40
1,38 1,36
0,646 0,644 0,642
0,64 0,63 0,62
Рис. 13.9. Эволюция выделенных участков инвариантной кривой отображения (13.7) в области резонанса 2/5 при движении в направлении С диаграммы рис. 13.8
257 режим стохастичности, так как гиперболическое множество станет притягивающим.
Если теперь исследовать динамику отображения (13.7) вдоль пути Dt где тор эргодический (рис. 13.8), то эффект потери гладкости инвариантным многообразием можно будет наблюдать по виду самого отображения и по эволюции спектров мощности.
На рис. 13.10 представлены результаты расчетов выделенных, для наглядности, участков инвариантной кривой L і и соответствующих спектров мощности отображения Spx (/) при движении по пути D бифуркационной диаграммы. Видно, Ъто движение по плоскости параметров в направлении D приводит к мягкому разрушению инвариантной кривой L і за счет потери гладкости. Эффект сопровождается обогащением спектра Sx(f) комбинационными частотами, и при пересечении бифуркационной линии Ifep возникает стохастичность СА\.
Один из основных результатов проведенного численного исследования дискретной модельной системы (13.7) состоит в экспериментальном обосновании исследования эффекта потери гладкости тором по эволюции эргодической инвариантной кривой вне области синхронизации. Сравнение данных расчетов для рационального (рис. 135, C2) и иррационального (рис- 13.10, D3) значений числа вращения ф наглядно свидетельствует о том, что инвариантное многообразие с пересечением бифуркационной линии кратности /1 не терпит разрыва*). В случае отсутствия возможности рассчитать неустойчивые многообразия седлового цикла в области резонанса (а это типичная сложность в изучении многомерных дифференциальных систем) можно уверенно диагностировать эффект потери гладкости тором по сечениям Пуанкаре и спектрам мощности колебаний вблизи линий кратности 11, но вне области синхронизации.
