Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Расхождение результатов физического и численного экспериментов можно объяснить тем. что первые относятся к спектру потока, а вторые -к спектру отображения. Переход от потоковой системы к отображению связан с нелинейным преобразованием спектра, индивидуальным для каждой конкретной динамической системы. Кроме того, как показывают численные исследования, даже для одномерных отображений соотношение амплитуд спектральных линий зависит от формы отображаемой кривой. Инвариантная замкнутая кривая в сечении конкретной динамической системы имеет свой особый характер искажений на пути к разрушению. Чтобы преобразовать эту кривую в окружность, требуется некоторая нелинейная (а в критической точке и негладкая) замена координат. Соответственно амплитуды спектральных, линий также претерпевают нелинейное преобразование. Инвариантная кривая в сечении рассматриваемой динамической системы (12.1) в момент разрушения весьма далека от окружности (рис. 12.13в). Поэтому можно предполагать, что отличие спектра, представлеьного на рис. 12.145, от спектра отображения окружности объясняется не столько погрешностью вычисления амплитуд спектральных линий, сколько искажением формы инвариантной кривой в сечении.
Таким образом, чтобы перейти от спектра конкретной динамической системы в момент разрушения тора при ф = фя к универсальному спектру отображения окружности в себя, необходимо проделать некоторое нелинейное преобразование амплитуд спектральных составляющих для каждой конкретной системы. Что касается частотных соотношений при ф = фя, то они хорошо наблюдаются на любых моделях, так как полностью определяются значением числа вращения.
Представленные результаты экспериментов свидетельствуют о том, что ряд универсальных свойств одномерных отображений окружности
243 Таблица 12.1
Ушшерсальиые csoftcna стктра при мягком раэруиишш гор* (фазичсскнй эксперимент)
/.кГц "«//А, в. I»%*g - «і I ' I «Ob»») і а/. ДГ> j S1. дБ
0.240 0,092 0,002 ........ ¦¦¦ ¦ - " 4>g" 5pg - 3 » 0.090 I і 1 - 1.040 г ----------- 0,010 І -31 I ------ 3
0.380 0,14« 0.002 I -0,840 0,007 -19 3
0,610 0.234 0М2 ¦і" 1 "0^36 1 -0,631 0.004 -13 3
0.765 0,294 0.002 |6<^-4|«>0.292 2 -0,532 0.004 -40 3
0,850 0,326 0.003 IQg - 4 и 0,326 3 -0,487 0.00? -40 3
0,990 0.380 0.003 lv>p — U ж0.382 1 -0.420 0.003 -6 3
1,230 0,472 0,003 4ФЯ - 2 -0.472 2 -0,326 0.»х>.3 -41
1.375 0,528 O-OOJ \4g - Зі »0,528 3 -0.277 0.002 -42 J
1,610 0,618 олоз Фв " 0,618 1 -0,209 0,092 -2 3
1,995 0,765 0.003 І 21-0,764 2 -0.116 0.002 -.26 3
2,220 0.852 0.004 - 1 » 1,854 3 -0,070 0.002 -32 3
2,60$ 1.000 0ХЮ4 4g » 1.000 і ихюо 0.002 0 3 Таблица 12.2
Универсальные свойства спектра при мягком разрушении тора (численный эксперимент)
= //до j \пгФя - п, I I Igc 6 (Inv) в/. дБ 6,, дБ
23 0,059 0,003 Ifi^ - 51 = 0,056 1 -1,230 0,020 -4 5
35 0,090 0,003 5 <t>g-i = 0,090 1 -1,040 0,010 -2 5
57 0,146 0,003 130g - 21 = 0,146 1 - 0,840 0,010 -5 5
69 0,177 0,003 lOfy-6 = 0,180 2 -0,750 0,007 -16 5
80 0,205 0,003 |11Ф^-71= 0,202 3 -0,690 0,007 18 5
92 0,235 0,003 її 24>g - 1 =0,236 1 -0,630 0,006 -6 5
115 0,294 0,003 16ФК -41 = 0,292 2 -0,530 0,005 -12 5
127 0,325 0,003 ^Фg-4 =0,326 3 -0,490 0,005 -13 5
150 0,384 0,004 и -?0 \<t>g - Il = 0,382 1 -0,416 0,004 -4 5
172 0,440 0.004 194>g - 61 = 0,438 4 -0,357 0.004 -24 5
184 0,471 0,004 4?-2 =0.472 2 -0,327 0.003 -20 5
207 0,529 0,004 \4g - 31 = 0,528 3 -0,277 0,003 -29 5
219 0.560 0,004 90g - 5 = 0,562 5 -0,252 0,003 -15 S
242 0,619 0,004 <Pg =0,618 1 -0,208 0,003 -1 5
276 0.706 0,004 6 фя-і = 0,708 4 -0 151 0,003 -21 5
299 0,765 0,005 120g - 21 = 0.764 2 -0,116 0,00? -16 5
334 0,854 0,005 4g - 1 = 0,854 3 -0,06? 0,002 14 5
357 0.913 0.005 15 <pg -41 = 0,910 5 -0,040 0,002 -21 5
391 1,000 0,005 1.000 1 0.000 0,002 0 5 сохраняется и для дифференциальных систем. Наиболее четкое соответствие имеет место в отношении спектрального состава колебаний в критической точке для числа вращения ф = <pg. Данные теории и эксперимента совпадают в рамках относительно высокой точности спектральных измерений. Хорошее совпадение с теорией можно констатировать и в отношении фрактальной размерности канторова множества иррациональных значений числа вращения вблизи критической линии разрушения тора.
Глобальная структура расположения областей резонансов на плоскости управляющих параметров, как следует из приведенных результатов,также соответствует теоретически описанной и определяется правилом Фейри. Универсальной, по-видимому, является и геометрическая структура резонансных областей вблизи критической линии /кР, определяемая соотношением (12.5). Нужно отметить, что приведенные итоговые результаты являются важными и далеко не очевидными. Дело в том, что между отображением Пуанкаре и потоком взаимосвязь принципиально не однозначна. Именно в силу последнего обстоятельства масштабная инвариантность амплитудных соотношений в спектре квазипериодических колебаний не подтверждается для дифференциальных систем, хотя для одномерных отображений окружности она, безусловно, имеет место. ГЛАВА 13
