Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
Области резонансов диаграммы рис. 12.11 можно классифицировать в соответствии с правилом Фейри [247]. Резонансы, отвечающие числам вращения ф = 1 / (п + 1), принадлежат к так называемому первому ярусу "дерева Фейри". По правилу сложения Фейри резонансы первого яруса порож-
237 O 4h
\ И \ « ¦ ' '
4
4,5
5
/,,кГц,
Рис. 12.11. Бифуркационная диаграмма неавтономного генератора с инерционной нелинейностью
Второй ярус дерева Фейри формируется "сложением" двух рациональных дробей а/Ь® c/d. Дробь (а + с)HJb + d) является единственным рациональным числом с минимальным знаменателем на отрезке между числами а/b и c/d. Если при этом выполняется условие унимодулярности lad - bc \ = = 1, то значение этой рациональной дроби лежит в середине указанного отрезка и называется медиантой.
Медианта (а + с) /(b + d) унимодулярна с каждой из порождающих рациональных дробей а/b и c/d, что обеспечивает построение последующих медиантных ветвей дерева Фейри:
(2а + c)!(2b + d)= (а + с)/(Ь + d) ® a/ft,
(a + 2c)/(ft + 2 J) = (a + c)/(b + J) ® c/d.
Глобальная структура расположения резонансов на бифуркационной диаграмме системы (12.1) полностью соответствует порядку Фейри (12.3), (12.4). Резонансы, отвечающие второму, третьему и последующим ярусам дерева Фейри, становятся все более узкими по параметрам, различать их довольно трудно даже в численном эксперименте.
Из теории модельных отображений окружности следует универсальность в поведении ширины резонансных областей на линии критических значений параметров /?„ в окрестности иррациональных чисел вращения [140-145].
*) Символ * означает: 1/л ?0/1 = (1-'- 0)/(я + 1) = (я + 1)"'.
даются двумя рациональными числами
11(п + 1) = 1 / я ® 0/1, я = 0,1,2,...
(12.3)
238 универсальность проявляется в том, что для ширины oGriacти синхронизации. независимо от конкретного вида отображения окружности, справедливо соотношение
6 = 6(0)-lim [(S2„_, -П„)ЦП„ - S2„+I)|, (12.5)
И -»во
где ?2„ — ширина области синхронизации, отвечающая аппроксимации рассматриваемого иррационального числа ф п-м членом последовательности рациональных чисел, сходящейся при к <р . Универсальная константа
6 зависит только от числа вращения и равна: bg = 2,333.. . (золотое сечение, Ф = 0.5 (у 5 - 1)), 8S = 6,799.. . (серебряное сечсние, ф = \/2- 1).
На рис. 12.11 показаны экспериментально полученные одномерные кривые Р< и P2. на которых число вращения постоянно и равно золотому и серебряному сечениям соответственно. В окрестности серебряного сечения, как показали расчеты, значение 6 = 6,25 ± 0,5, что удовлетворительно согласуется с теоретическими предсказаниями.
На линии критических значений параметров /?р множество пробелов между зонами резонансов, дополняющее множество резонансных отрезков до нормированной лебеговой меры 1, имеет канторову структуру. Мера множества этих пробелов нулевая, но фрактальная размерность Dp конечна. В окрестности золотого сечения, согласно теории, значение размерности Dp = 0,867. .. Для расчета Df по результатам численных и физических экспериментов можно использовать соотношение
Iim Z [/?,(«)]- I, (12.6)
п-"*> і
;ле Я/(л) = Li(H)ILin), L (п) - длина пробела между резонансами a/b і c/d на л-м ярусе дерева Фейри, L1(H), і = 1, 2,.. . . - длины пробелов между каждым из этих резонансов и их медиантой (а + с) /(b + d).
На основе соотношения (12.6) по данным физического и численного жепериментов на ряде систем определялись значения фрактальной размерности Dp. В частности, оценка Dp по данным физического эксперимента рис. 12.11, проведенная измерением длины пробелов между резонансами 1/2,3/4 и 2/3 (в окрестности золотого сечения P1 на линии /^p) дает значение Df =0,78. В окрестности серебряного сечения (пробелы меж-IV резонансными 1/2, 1/3 и 2/5) эксперименты дали утивительный результат : Dp = 0,86! Полное соответствие с расчетным значением объясняется лчссь скорее случайным совпадением за счет ошибок эксперимента, обусловленных аппроксимацией криволинейной границы ломаной линией и относительно большой погрешностью определения границ резонансных чііастей. Близость полученных экспериментально значений размерности Df к расчетному значению явно не случайна. В этом убеждают результаты расчетов, проведенных с более высокой в сравнении с экспериментом точностью. Расчетные значения размерности Dy в зависимости от чис;іа вращения, рассматриваемого яруса резонансов дерева Фейри и конкретного ни да исследуемой системы не выходят за границы г.нг-ркала 0,85 < Df < < 0,90 [247]. Если учесть, что абсолютная погрешность расчетов размерности Df не гіревьпиала величины ±0,05. то полученные данные по крайней мерс не противоречат теории.
239 В [141] методом ренормгруппы показано, что спектр мощности отображения окружности в критической точке обладает рядом универсальных свойств. Характер спектра определяется значением числа вращения ф. Если ф можно представить в виде периодической цепной дроби, то спектр облагает свойством масштабной инвариантности. Наиболее простым разложением в периодическую цепную дробь характеризуется золотое сечение ф - фя = 0,5 ( vT —1) = <1,1,1,1...). В этом случае приведенные частоты спектральных линий v - ///, в интервале [0,1] удовлетворяют соотношению
