Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
13.2. Качественное описание бифуркационных явлений в системе связанных генераторов с помощью модельного отображения
Как было подтверждено в гл. 10, динамическая система с 1,5 степенями свободы (N = 3), реализующая квазиаттрактор седло-фокусного типа, порождает в секущей двумерное отображение класса Хенона
¦к*+! -Р(хп,а)+У„, Уп*і s?x„, (13.4)
где Р(х„, о) - одномерное параболическое отображение класса Фейгенбау-ма, ? - коэффициент, характеризующий эквивалентное сжатие фазового потока в исходной дифференциальной системе. Расчеты свидетельствуют, чю в общем случае отображение системы (738) в секущей плоскости качественно соответствует (13.4). В связи с этим разумно исследовать динамику системы двух связанных генераторов, приближенно описав ее с помощью дискретной системы связанных отображений. Дискретная сис-
253 тема, моделирующая взаимодеиствие двух генераторов с инерционнои нелинейностью,имеет вид
JCn+1 аР(?Сп.<*) + УРі(Хп.Уп)+їп.
Уп*і *Р(Уп,<*) + 1Мхп,Уп) + 1п, (13.5)
?п+1 = ?Xn, Vn+1 ~РУп,
где а - параметр, адекватный превышению над порогом генерации, 0 < у < < 1 - эквивалентный коэффициент СВЯЗИ| у„) - функция,
описывающая характер связи, ? < 1 - эквивалентный коэффициент диссипации.
В случае относительно сильного сжатия исходного фазового потока в модельной системе ? < 1 и система сводится к необратимому двумерному отображению. Выбрав конкретный вид параболического отображения Р(хп, а), запишем систему (13.5) в виде
X/t+i = 1 -OuCn + TVi (*п. Уп),
a . . . (13.6)
Уп*і " 1 -Ctyf, + ТРз(Хп,Уп),
представляющем собой два связанных отображения Фейгенбаума.
Динамика дискретных систем типа (13І>) изучалась многими авторами и с различными целями. Нас интересует возможность иллюстрации механизмов разрушения инвариантной кривой при сохранении качественных аналогий в переходах в сравнении с исходной дифференциальной системой (13.1). В [136,225,248] обсуждался переход к хаосу через разрушение инвариантной кривой, однако в силу применения однопараметрического анализа детали механизмов рождения стохастичности исследованы недостаточно.
Сравнительный анализ динамики систем (13.5) и (13.6) показал, что их бифуркационные диаграммы на плоскости управляющих параметров в случае линейной, билинейной [248] и инерционной [249-251] связи качественно могут не отличаться. Для достижения поставленной цели оказалось достаточным ограничиться изучением наиболее простой системы (13.6). Вопрос о влиянии типов связи, задаваемых функциями <р(х„, у„), далеко не тривиален [251, 252], но в данном случае можно остановить выбор на инерционной связи [251], когда v>i 2 = ± (у„ - х„). Сохраняется существенное требование задачи — симметрия модельного отображения (13.6). Итак, проанализируем бифуркационные явления в модельной системе [246]
дсп+1 = 1 - axi + у(уп - х„),
- (13.7)
Уп* 1 = 1 - а у„+у(х„-у„),
с двумя управляющими параметрами, существенными для нашей задачи: а — параметр, играющий роль параметра т, и у - параметр, аналогичный коэффициенту связи в системе дифференциальных уравнений (13.1).
Отображение (13.7) симметрично относительно замены переменных X, у на у, X и имеет две неподвижные СМ-точки
JCll2 =^,.2=(20)-4- 1 ±(1 +40t)1/2] (13.8)
254 и две неподвижные АСМ-шчки
-(1 +27)+-(1-472 +4а)1/2
*з,4 =--
2а
У з,4=-
-(1 + 27) T (1 -4г*+4а)Ч2 2а
(13.9)
Линейный анализ устойчивости дает выражения для мультипликаторов неподвижных точек:
Pit2 = - а(х +у)- 7 ± (а2 (х-у)2 + у1 )"2. (13.10)
Подставив в (13.10) координаты точек (13.9) ,получим
Pi.2 = 1 + 7±(1 -372 +4O),/2> (13.11)
откуда следует, что АСМ-точки неустойчивы при любых значениях параметров. Для СМ-точек имеем
P1 = 1 T(1 +4а)1/2, Pi = 1 Т(1+4а)1/2-2г (13.12)
Видно, что у отображения (13.7) существует единственная СМ-точка
* »j, = (2а)"1 [- 1+(1+ 40)1'2], (13.13)
устойчивая в некоторой области плоскости параметров, исследованием которой мы ограничимся. Отметим, что дискретным аналогом фазового пространства шестимерной системы (13.1) является плоскость переменных хп,уп, а случаю вырождения (13.2) отвечает одномерное пространство в виде прямойхп =у„ на зтой плоскости.
Неподвижная точка периода 1 рождается на линии Ii при а * - 0,25 с мультипликаторами P1 = \, P2 31 1 — 2у. С увеличением параметра у зга точка теряет устойчивость через удвоение. На плоскости управляющих параметров зтой бифуркации отвечает линия/] при а = 0,25 (472 - 87 + 3) Обе линии изображены на рис. 13.7.
В результате бифуркации удвоения периода мягко рождается двуперио дическая точка (2-цикл) отображения, расположенная симметрично отно сительно биссектрисы хп =у„. С увеличением параметра а мультипликаторы 2-цикла становятся комплексно-сопряженными, а затем на линии /0, построенной численно (рис. 13.7), выходят на единичную окружность, т.е реализуется бифуркация рождения инвариантной кривой. В окрестности
Рис. 13.7. Бифуркационные линии ZqiI 2 потери устойчивости неподвижными точками на плоскости параметров отображения (13.7);
