Сложные колебания в простых системах: механизмы возникновения, структура и свойства динамического хаоса в радиофизических системах - Анищенко В.С.
ISBN 5-02-014168-2
Скачать (прямая ссылка): Скачать (прямая ссылка):
ЗАКОНОМЕРНОСТИ РАЗРУШЕНИЯ КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ С ДВУМЯ И ТРЕМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ЧАСТОТАМИ
13.1. Переходы к тор-хаосу в автономной системе двух связанных генераторов
Эволюция по параметрам двухчастотных колебаний в неавтономном генераторе с инерционной нелинейностью даст достаточно наглядную картину возможных механизмов разрушения режима биений и переходов к хао-.V. но не затрагивает ряда интересных явлений, характерных для автономных динамических систем. Кроме того, с физической точки зрения желательно иметь обоснованные аргументы в пользу качественной аналогии в поведении автономных и неавтономных систем, учитывая важность автономных систем в понимании механизмов развития турбулентности сплошной среды.
Для зтого рассмотрим эволюцию квазипериодических колебаний в автономной системе с биениями. Естественно обратиться к модели двух каким-либо образом связанных генераторов, способных индивидуально работать в режимах сложных автоколебаний.
Обратимся к системе двух индуктивно связанных генераторов с инерционной нелинейностью,структурная схема которой приведена на рис. 13.!. Считая параметры парциальных генераторов идентичными, запишем уравнения системы [237] :
П -T2)-*! =.v і -г,) + 7[;»г + хг(т - г,)],
(1 -у2)х1 =у2 *x1(m-z2) + y\y1 +х,(/я-2,)], ^3
ух=-хх, Z1 = tf[/(Jf,)Jf? -г,].
У j = - * j, z2 = g [/(.t2 j Jf \ - Z7 ],
где 0 <7 < 1 - коэффициент связи.
Случай 7=0 тривиален. При у > 0 возможны два варианта решений: обший Diyчай, когда при любом сколь угодно большом времени г выполнено хотя бы ОДНО ИЗ условий Jf1 Ф Xi. Уі Ф V2 , Z , Ф Z3lH вырожденный случай движения в инвариантном подпространстве размерности три шестимерного фазового пространства системы (13.1), в котором при любых г
247 выполняются равенства JC1 = хг, у, ** уг, z, = z2. Обшкй случай назовем асимметричным (ACM). вырожденный - симметричным (СМ).
Проведем исследование критических явлений для периодических решений системы при вариации ее параметров. В СМ-случае уравнения (13.1) вырождаются в трехмерную систему:
(1 -у г)х*у+х(т-г),
у = -х, г =-gi + /(Jt)Xj1 (132)
позволяющую проанализировать влияние связи на динамику парциального
Рис. 13.1. Структурная схема двух индуктивно связанных генераторов: 1 - основные усилители, 2 - линейные усилители инерционных каскадов, S - однополупериод-ные квадратичные детекторы с ЛС-филырами
генератора. Линейной заменой переменных и параметров (1-7)"4*, У*( 1-7)3/4К. Г = (1-7),/4?
уравнения (132) по ферме сводятся к сгучаю отсутствия связи: 7*0. Поэтому динамика систем (132) и (738) идентична. Влияние связи приводит к изменениям бифуркационных значений параметровт и;,зависящих от 7 в соответствии с заменой (13-3) *).
Представляется важным исследование СМ-режима в полной системе уравнений (13.1). Расчет мультипликаторов СМ-циклов в шестимерной системе уравнений в зависимости от параметра т при различных g и у показал, что при вариации т грубым образом имеет место переход одного из мультипликаторов СМ-цикла через +1, при котором исследуемый цикл не исчезает! СМ-цикл теряет устойчивость в направлениях, трансверсальных к инвариантному трехмерному подпространству. При этой бифуркации от СМ-цикла ответвляется пара АСМ-циклов, зеркально-симметричных относительно потерявшего устойчивость СМ-цикла. В зависимости от значений параметров g и у эта бифуркация относится либо к устойчивому, либо к неустойчивому СМ-циклу. Соответственно ответвляющаяся пара АСМ-циклов будет устойчивой или неустойчивой. На рис. 13.2а представлены типичные результаты расчетов мультипликаторов P1 (т) 2-тактного СМ-цикла для
•) Отсюда следует принципиальный вывод о возможности полной синхронизации режимов хаотических автоколебаний в системе двух взаимодействующих генератором. Хаотическая синхронизация будетреалиэомываться в экспериментах при усло-
вии устойчивости CM-хаоса по отношению к возмущениям в трансверсальных к CM-подпространству направлениях.
248 g = 035 и 7 = 03, когда бифуркация +1 наблюдается для устойчивого 2-тактного цикла и рождающаяся при этом пара ACM циклов устойчива (рис. 13.26).
Эволюция АСМ-циклов при вариации параметров системы (13.1) оказывается принципиально иной в сравнении с эволюцией СМ-циклов. Расчет зависимости мультипликаторов P/(m) ACM1-цикла показал, что с ростом параметра т потеря устойчивости периодическим режимом обуславливается выходом пары комплексно-сопряженных мультипликаторов на единичную окружность. При этом в шестимерном фазовом пространстве системы рождается устойчивый двумерный тор - бифуркация суперкритическая. Аналогичная картина наблюдается и для ACM1 -цикла.
Бифуркация рождения двумерного тора в исследуемой системе, как и в общем случае, является типичной однопараметрической, имеющей коразмерность ]. Малые изменения параметров приводят к тому, что в пространстве параметров m,g и 7 зта бифуркация не исчезает, а несколько сдвигается по гиперповерхности, отвечающей данному типу потери устойчивости.
На рис. 133л приведены зависимости модуля мультипликаторов р/(т) 2-тактного ACM j -цикла для g =03 и 7 ¦ 03- В бифуркационной точке
