Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Перейдем теперь к рассмотрению случаев, когда, помимо отталкивающей силы, в системе существует и трение, причем это трение может быть и положительным и отрицательным. К первому из этих случаев приводит рассмотрение маятника вблизи верхнего положения і равновесия при наличии силы
трения, пропорциональной ско-
H' I
шштт
Рис. 52.
рости. В этом случае уравнение, описывающее движение системы, будет иметь вид
<р -f- 2/гср — лср = 0, (1.72)
где п= j и 0. Ко второму случаю, т. е. к случаю в урав-
нении (1.72), нас привело бы рассмотрение маятника Фроуда также в области, близкой к верхнему состоянию равновесия (конечно, при линейной идеализации).
2. Электрическая система. К тому же уравнению (1.72) мы придем, рассматривая при соответствующих предположениях так называемый динатронный генератор (рис. 52) — схему, которая может совершать автоколебания из-за наличия у анодной характеристики тетрода г'а = ср(и) (рис. 53) падающего участка (участка, на котором
3^а<С°) ^ Законы Кирхгофа для рассматриваемой схемы дают: * = '« + с7й» L^+Ri = Ea — и,
') Анодной характеристикой электронной лампы, как известно, называют зависимость анодного тока іа от анодного напряжения и при постоянных (фиксированных) напряжениях на других электродах (сетках). Анодная характеристика тетрода имеет (при достаточно больших напряжениях на экранной сетке E9) падающий участок благодаря так называемому динатронному эффекту, имеющему место в тетроде в определенном интервале анодных напряжений. § 7] ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОТТАЛКИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ
07
или после исключения тока і:
^ + [^+*?-] f+« + я/.=*.. О-73)
Для состояний равновесия = 0, = 0 и, следовательно,
и+ Ria = Ea. (1.74)
Решая полученное уравнение совместно с уравнением характеристики тетрода іа = ср(и) (графическое решение дано на рис. 53), мы найдем состояния равновесия рассматриваемой электрической схемы; очевидно, при заданной характеристике тетрода в зависимости от R и Ea имеется или одно или три состояния равновесия.
Предположим, что R и Ea таковы, что имеется состояние равновесия (и = мп, ia = іа), лежащее на падающем участке характеристики (ср' (и0) 0). Ограничиваясь областью малых колебаний около этого состояния равновесия:
и = M0 -)- V,
где V достаточно мало, мы можем характеристику тетрода считать линейной:
Ia-Pa-S9V, (1.75)
где S0 =— ср' (и0) — абсолютная величина крутизны анодной характеристики тетрода в рабочей точке, лежащей на падающем участке. Для этой области малых колебаний мы получим, очевидно, следующее линейное дифференциальное уравнение второго порядка:
LC S + - LS°\ % + ( 1 - *So) *= 0- (1 -76)
Как и в предыдущих случаях, наше линейное уравнение пригодно для описания колебаний только в некоторой ограниченной области, в которой анодное напряжение и достаточно близко к значению M0 (т. е. V достаточно мало).
Если RS0<^1, то мы получаем «обычное» дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее систему с «притягивающей» силой и положительным или отрицательным «трением» в зависимости от знака выражения RC-LS0. Если же RS9 1 (сопротивление контура R достаточно велико), то мы получаем уравнение, аналогичное уравнению (1.72), описывающему систему с «отталкивающей» силой ').
3. Особая точка типа седла. Итак, обе рассмотренные нами системы — маятник (обычный маятник или маятник Фроуда) вблизи верхнего состояния равновесия и динатронный генератор вблизи состояния равновесия на падающем участке характеристики
') Заметим, что в этом случае динатронный генератор имеет кроме рассматриваемого состояния равновесия еще два, которые являются устойчивыми узлами или фокусами.
4« 100 ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
(при RS0 ^>1) привели нас при соответствующих упрощениях к линейным дифференциальным уравнениям вида
x-\-2hx — nx=0, (1.77)
_JL
где я 0 1 для маятника я=-у, для динатронного генератора
Dg _ J
0 'a h может иметь любой знак.
LC
Характеристическое уравнение для дифференциального уравнения (1.77) имеет вид
X2 2ЛХ — л = 0
и имеет, независимо от знака коэффициента А, корни действительные, но разных знаков:
Xli2 = — h± Yhi + я
(ниже мы будем обозначать положительный корень через и отрицательный— через —qt, qi и qt ]>0). Поэтому общее решение для уравнения (1.77) может быть записано в виде
X=Ae^t-IrBe-**'. (1.78)
Для нахождения интегральных кривых на плоскости х, у (у = х, как и раньше) исключим время из уравнений первого порядка:
х=у, у=пх — cIhy, (1.79)
эквивалентных уравнению (1.77), путем деления второго уравнения на первое:
%- = -2h + nf.. (1.80)
Погпрежнему единственной особой точкой (единственным состоянием равновесия) является начало координат (лг = 0, _у = 0). Для
rty
изоклины с наклоном интегральных кривых = х получаем урав-
X
нение —2h-\-n — = х или
У =TTWx- (1-81)
В частности, изоклиной * = 0^т. е. -^-=Oj является прямая
п
y = ~Wx>
а изоклиной х = со ^-^?-='соj — ось абсцисс (j> = 0). В рассматриваемом случае, так же как и в случае особой точки типа узла, имеются две интегральные прямые, проходящие через особую точку,— пря- § 7] ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА С ОТТАЛКИВАЮЩЕЙ СИЛОЙ
