Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
в контуре благодаря воздействию на контур анодного тока, протекающего по катушке La) или
і і „. dia
LC-.T,+RC7T + v = M
dt •
(1.62)
Пренебрегая анодной реакцией, т. е. считая анодный ток ia зависящим только от сеточного напряжения Ug = V (это достаточно хорошо выполняется для триодов с большим коэффициентом усиления или, еще лучше, для пентодов), очевидно, имеем:
dla_ dia dv^_о /-.,X dw
dt — du/ dt ~ ° w dt
(1.63)
где
¦ крутизна характеристики лампы, конечно, за-
висящая от сеточного напряжения ug. Примерная характеристика лампы, а также зависимость крутизны характеристики 5 от ие приведены на рис. 45.
Подставляя выражение (1.63) в (1.62), получим:
LC ~ + [RC - MS (?)] +Z- = O
(1.64)
— нелинейное уравнение колебаний лампового генератора, которое будет нами подробно рассматриваться в дальнейшем. Сейчас же мы
рассмотрим только малые колебания в контуре генератора вблизи состояния равновесия г- = 0. Ограничиваясь некоторой достаточно малой областью изменения напряжений V, мы будем считать 5 постоянной: при достаточно малых V S(V) = S9 — крутизне характеристики в рабочей точке. Тогда для таких малых колебаний получим линейное уравнение:
LC + [RC-
dv
MS9]% + v=0. (1.65)
Знак коэффициента взаимоиндукции M (при Рис. 45. выбранных положительных направлениях то-
ков і и іа) определяется относительным расположением витков катушек L и La. Предположим, что М^> 0, т. е. катушки L и La включены так, что токи і и іа, текущие в направлениях, указанных на рис. 44 стрелками (і ]> 0, іа ]> 0), создают в катушке L магнитные потоки, усиливающие друг друга. В таком случае при достаточно большом абсолютном значении M можно достигнуть того, что величина RC — AlS0 станет отрицательной. Мы получаем, § 6] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ» 87
таким образом, электрическую систему, описываемую также линейным уравнением:
d*v , 0. dv , j п (. RC-MS0 а 1 \ dt*+2hTt+<v==0 [h= 2 LC ' wO = Zcj'
причем 0. Таким образом, надлежащим выбором величины и знака M можно осуществить электрическую систему, которую в известной ограниченной области можно рассматривать как линейную систему с «отрицательным сопротивлением».
Все рассмотренные системы приводят нас к линейному дифференциальному уравнению вида х -)- 2hx -f- cu0JC == 0, причем в отличие от прежних случаев h в этом уравнении отрицательно (ш0 по-прежнему положительно). Для исследования поведения этих систем мы можем применить те методы, которые развиты выше. Но поскольку эти методы применимы независимо от знака h, мы не будем повторять всех выкладок, а просто используем результаты, полученные в § 4 для случая h^> 0.
3. Картина на фазовой плоскости. Для того чтобы выяснить характер интегральных кривых на фазовой плоскости в случае 0, достаточно в обоих рассмотренных случаях линейного осциллятора (при малом и большом трении) проследить, как изменится картина при изменении знака h.
Для случая /г2<^(и0, т. е. для случая не слишком большого «отрицательного трения», мы получим снова семейство спиралей, определяемых уравнением
h_ у + hx
У + 2hxy + а)=лг2 = С2е ^arcg , (1.29)
или в полярных координатах на плоскости и, v
P = Cetor, (1.28)
где, как и раньше,
ш = -\- — /г2 и tp = — (tot а).
*
Но, так как теперь 0, то с уменьшением ср (ср уменьшается при возрастании t) р будет возрастать (рис. 46), т. е. ход спиралей изменится на обратный по сравнению с тем, который мы получили для систем с положительным h. Следовательно, двигаясь по интегральной кривой, представляющая точка будет удаляться от состоя-
установленная нами раньше 88
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. I
ния равновесия (особой точки х = 0, у = 0). Особая точка и в этом случае представляет собой асимптотическую точку семейства вложенных друг в друга спиралей, т. е. является особой точкой типа фокуса (рис. 47).
Скорость движения изображающей точки по фазовой плоскости по-прежнему обращается в нуль только в начале координат и возрастает по мере удаления представляющей точки от начала координат. Так как, кроме того, эта скорость везде направлена по инте-
гральной кривой в направлении от начала координат, то при любом (но отличном от нуля) начальном отклонении системы от состояния равновесия система через достаточный промежуток времени уйдет как угодно далеко от этого единственного состояния равновесия; в силу этого мы не можем указать такую область 5(s), чтобы находящаяся в ней в начальный момент представляющая точка не ушла никогда за пределы заданной области е. Следовательно, единственное положение равновесия в этом случае неустойчиво: особая точка представляет собой неустойчивый фокус. Совершенно ясно, что неустойчивость этого фокуса обусловлена именно тем, что 0. Мы видим, таким образом, что в случае 0 и движение
системы представляет собой также осцилляторный процесс, как и в случае малого положительного h, но процесс уже не затухающий,
Рис. 47. § 6] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ»
