Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
89
X /
ч
ч
\
а нарастающий. Максимальные отклонения системы со временем нарастают (рис. 48), и зависимость отклонений от времени определяется выражением вида X = Ke ht cos (u^-f- а), где 0. Закон нарастания максимумов — геометрическая прогрессия с знаменателем e~hT= = e~d, причем, так как 0, то 0 и e~d^> 1. Величина (I1 = = — d 0 в этом случае носит название логарифмического инкремента нарастания колебаний. Те оговорки, которые сделаны выше относительно декремента, целиком относятся к инкременту: понятие логарифмического инкремента применимо также только к линейным системам.
Итак, поскольку мы ограничиваемся линейной трактовкой системы, мы получаем беспредельно нарастающий осцилляторный процесс.
Таким же образом можно проследить характер поведения интегральных кривых для случая большого «отрицательного трения»:
0, когда се-
мейство интегральных кривых определяется уравнением (1.45):
OH^t-O7I = C1Cy-L-где
qi = h—
и
Рис. 48.
q a = h -(- / H1
Так как h <[ — ш0 <[ 0, то Qi Яг "cC 0. что приводит к изменению положения интегральных прямых у-\--\-qtx = 0 и у ^qiX = 0; обе эти прямые будут в этом случае проходить через первый и третий квадранты, так как х и у — одного знака (рис. 49).
Мы снова получаем семейство интегральных кривых «параболического» типа, причем все кривые проходят через единственную особую точку, лежащую в начале координат. Это — особая точка типа узла.
Определяя направление движения представляющей точки по фазовой плоскости, мы легко убедимся в том, что движения эти происходят в направлениях, указанных на рисунках стрелками, и следовательно,
Рис. 49. 90
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
представляющая точка в своем движении по любой из интегральных кривых стремится уйти от состояния равновесия. О скорости движения представляющей точки мы можем повторить все то, что сказано выше. Следовательно, как бы мало ни было начальное отклонение системы от состояния равновесия (х = 0, _у = 0), она по прошествии достаточно длинного промежутка времени уйдет достаточно далеко от состояния равновесия, и значит, это состояние равновесия неустойчиво. Мы снова не можем указать такой конечной области начальных значений 8 (є), чтобы представляющая точка не вышла из заданной области є.
Рассматриваемая особая точка есть неустойчивый узел, причем опять-таки неустойчивость обусловлена тем, что Мы получили
апериодический процесс, нарастающий по закону: х = Aex^Bex^t', где X1 и X2 положительны. И поскольку мы рассматриваем систему как линейную, это нарастание в ней будет продолжаться беспредельно.
Рассматривая систему как линейную, мы не находим в ней устойчивых стационарных состояний; она не может остаться в 'области, близкой к состоянию равновесия, — отклонения в линейной системе должны беспрерывно возрастать. Между тем при описании механической и электрической систем, которые привели нас к этим случаям, для того чтобы прийти к линейным уравнениям, мы должны были ограничиться рассмотрением областей, достаточно близких к состоянию равновесия (малое х и малое у). Значит, с одной стороны, мы должны ограничиться рассмотрением областей, достаточно близких к состоянию равновесия, а с другой стороны, рассматривая движение системы и этих областях, мы убедились в том, что система не останется в этой области, но неизбежно выйдет за ее пределы. Другими словами, линейная трактовка позволяет правильно изобразить поведение фазовых траекторий только в некоторой ограниченной области фазовой плоскости, вблизи положения равновесия. Но, с другой стороны, псе фазовые траектории уходят за пределы этой ограниченной области. Чтобы исследовать дальнейшее поведение системы, мы должны, очевидно, учесть какие-то обстоятельства, которые до сих пор нами не учитывались, и рассматривать систему уже как нелинейную.
Мы видим, таким образом, что в рассматриваемом случае линейная трактовка принципиально не может дать ответа на ряд вопросов о поведении системы, например на вопрос о том, какие движения будет совершать система по прошествии достаточно длинного промежутка времени.
4. Поведение системы при изменении обратной связи. Итак, мы пришли к следующим результатам (мы ограничимся только формулировкой результатов для лампового генератора; для груза на движущейся ленте и для маятника Фроуда выводы, конечно, будут совершенно аналогичны). § 6] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ» 91
Пока обратная связь достаточно мала1) (считаем, что выбрано такое направление витков катушек, что М]>0), мы имеем в контуре либо апериодическое затухание, либо затухающие колебания, в зависимости от того, будет ли Aa больше или меньше, чем о)2. Если сам по себе контур обладает таким большим сопротивлением, что в нем происходит апериодическое затухание, то, выбрав достаточно сильную обратную связь, мы можем достигнуть того, что эта обратная связь будет «компенсировать» большую часть сопротивления контура, т. е. A = ^ бУдет мал°й положительной величиной.
Тогда в случае не слишком больших начальных отклонений (таких, что система не выходит за пределы линейной области) будет происходить колебательное, а не апериодическое затухание. Увеличивая обратную связь, мы должны пройти через положение, когда RC — AlS0 = O, и затем перейти в область, где RC — MS0 <^0, т. е. достигнуть такого положения, при котором состояние равновесия станет неустойчивым (так как А<^0) и будет происходить уже не затухание, а нарастание колебаний. Чем больше будет абсолютная величина А, тем больше будет шаг спирали на фазовой плоскости, тем быстрее будут раскручиваться эти спирали и тем .больше будет возрастать величина максимального отклонения в системе за время одного колебания. Наконец, при дальнейшем увеличении обратной связи система пройдет через положение, в котором Hi = W20, и перейдет в область, где Aa ^>ю0 (причем А у нас теперь отрицательно). В этой области мы снова получим апериодический процесс, но уже не затухающий (как при большом положительном А), а нарастающий. Скорость нарастания процесса, характеризуемая корнями характеристического уравнения X1, X2,.будет тем больше, чем больше j А |, следовательно, чем больше обратная связь.
