Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Допустимость консервативной идеализации, как уже указывалось, зависит как от характера вопроса, так и от свойств системы. На тот же вопрос о движении маятника в течение промежутка времени, равного сотне периодов, мы при консервативной идеализации ничего не. сможем ответить, если маятник движется в среде с большим сопротивлением. В этом случае он уже в течение одного размаха расходует значительную долю сообщенной ему вначале энергии, и для промежутка времени, равного 100 периодам, сумму кинетической и потенциальной энергии маятника даже приблизительно нельзя считать постоянной.
Рассмотрение консервативных систем помимо того, что оно может дать непосредственный ответ на ряд вопросов, представляет для нас особый интерес в силу следующих причин. Во-первых, мы здесь получим возможность уже довольно глубоко подойти к выяснению тех понятий (фазовой плоскости, особых точек, периодических движений, устойчивости, зависимости динамической системы от параметра), которые понадобятся для рассмотрения нашей основной задачи — теории автоколебательных систем. Во-вторых, консервативные системы интересны еще и потому, что мы в некоторых случаях сможем изучать автоколебательные системы только постольку, поскольку они близки к консервативным системам.
Заметим, что для физики в целом теория консервативных систем имеет весьма большую самостоятельную ценность ').
§ 2. Простейшая консервативная система
Рассмотрим простейшую автономную консервативную систему с одной степенью свободы: движение материальной точки по прямой под действием силы, зависящей только от расстояния. Положение материальной точки вполне определяется заданием одного числа — абсциссы х. Механическое состояние системы определяется заданием положения
1) Прежде всего для теории строения материи. Еще со времен Лапласа и в особенности после того, как был открыт закон сохранения энергии, с тех пор как стали рассматривать теплоту как вид кинетической энергии, физики принимали, что в микромире действуют консервативные силы. На этом пути были достигнуты большие успехи кинетической теорией газов, теорией кристаллической решетки и др. Так называемая старая квантовая механика для определения стационарных состояний атома пользовалась консервативной моделью, ПРОСТЕЙШАЯ КОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА
105
точки X и скорости точки х=у. Массу точки для простоты выкладок примем равной единице; совершенно очевидно, что это предположение не уменьшит общности нашего исследования. Уравнение движения такой системы может быть написано по второму закону Ньютона в виде одного уравнения второго порядка:
Х=/(Х), (2.1)
где /(лг) — сила, или в виде двух дифференциальных уравнений первого порядка:
Во всем дальнейшем, за исключением специально оговоренных случаев, мы будем предполагать, что f(x) — аналитическая функция на всей прямой X (—оо X -j- оо) или, иначе говоря, что f(x) голоморфна в каждой точке прямой х').
Дифференциальное уравнение, определяющее интегральные кривые на фазовой плоскости, как мы уже знаем, получается в виде
?=^ = Л (2.3)
f (х)
где ср (лг, у) = у . Как будет двигаться изображающая точка по
интегральным кривым на фазовой плоскости? Мы уже указывали, что так как у есть скорость, то при _у^>0, т. е. в верхней фазовой полуплоскости, изображающая точка двигается так, что х возрастает, а при _у-\0, т. е. в нижней полуплоскости, так, что х убывает. Таким путем определится направление движения по фазовым траекториям. Скорость движения изображающей точки v можно выразить так:
• ¦= = Y №+(?)'= V^+іШ
Напомним еще раз, что следует различать скорость изменения положения — скорость материальной точки и скорость изменения состояния — скорость движения изображающей точки на фазовой плоскости. r, dx
Первая скорость =у равняется ординате, вторая
? = ]/>+№)]• =з< Y^+Ш (2-4)
лишь постулируя определенный рецепт для определения произвольных постоянных. Даже в квантовой механике, отказавшейся от пространственно-временного описания движения отдельных частиц, нужно знать гамильтонову функцию «идеальной модели атома», прежде чем написать уравнение Шредингера. С некоторой точки зрения можно рассматривать все развитие механики атома как развитие консервативной гамильтоновой механики.
') Мы будем пользоваться такой терминологией: будем называть функцию f(x) аналитической в данной области значений х, если она голоморфна в каждой точке этой области, т. е. если в окрестности каждой точки она может быть разложена в степенной ряд с радиусом сходимости, отличным от нуля. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
равняется ллине нормали к рассматриваемой интегральной кривой в выбранной точке. Из выражения (2.4) непосредственно вытекает уже отмеченное нами обстолтельство, что во всякой точке фазовой плоскости изображающая точка имеет конечную и отличную от нуля скорость, за исключением состояний равновесия (особых точек), в которых одновременно
_у = 0 и /(х) = 0. (2.5)
В силу этих условий все состояния равновесия расположены на фазовой плоскости на оси х, причем их абсциссы удовлетворяют уравнению /(х)=0.
