Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
C1-O + Ca .^ = (C1-HCj)W,,
откуда
v _ CtE
После такого скачка тока, зарядов и напряжений на конденсаторах, когда напряжения на конденсаторах уравняются, начнется непрерыв-
—VVW— -Il-
\\
E
Рис. 39. § 5] ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ
81
ное движение, определяемое, очевидно, уравнением (1.49) (с емкостью C= C1+ C2). Как легко подсчитать, энергия системы при таком скачке уменьшается. В самом деле, сравним энергию системы до
С E2 Ii скачка —с энергией системы после скачка у (C1 C3) vi. Очевидно,
1 /у-* і у-» \ 2__^a , C^Ei ^
~2 1 ~г vo— C1 +C1' ~~2~ \ ~Т~ •
Мы рассмотрели сейчас скачок в системе, опираясь на добавочное (по отношению к уравнению (1.49)) предположение о сохранении при скачке суммы зарядов конденсаторов. То же самое можно сделать и путем рассмотрения более «полной» системы, которая уже допускает заданное начальное состояние; например, это может быть система, в которой учитывается малое сопротивление проводов R1, соединяющих конденсаторы (рис. 40). Мы предоставляем читателю проделать это рассмотрение и доказать на его основе примененное нами условие скачка.
Приведенными примерами в достаточной степени поясняется все сказанное относигель- Рис. 40.
но систем, движения которых отображаются
линейными дифференциальными уравнениями второго порядка с малыми положительными коэффициентами при второй производной.
Как мы видели, в таких системах на начальной стадии движения могут иметь место (при соответствующих начальных условиях) быстрые изменения состояний, после которых движение описывается достаточно удовлетворительно соответствующим уравнением первого порядка. Эти быстрые изменения состояний, во время которых играют существенную роль те или иные малые параметры, могут быть проанализированы только при учете последних, т. е. в результате решения соответствующих уравнений второго порядка, несмотря на то, что движения системы после этих быстрых изменений состояний достаточно точно отображаются уравнением первого порядка. Однако, если нас не интересуют детали этой начальной и весьма кратковременной стадии движения, мы можем заменить это рассмотрение уравнения второго порядка предположением о том, что состояние, совместное с уравнением первого порядка, устанавливается мгновенно, скачком. При-этом мы должны ввести новый постулат (условие скачка), который определял бы то состояние, в которое приходит система в результате скачка и начиная с которого движение системы отображается соответствующим уравнением первого порядка.
Это представление о скачкообразных изменениях состояний системы будет нами широко использоваться в дальнейшем при изучении систем с «разрывными» колебаниями (см. гл. X). 82
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
§ 6. Линейные системы с «отрицательным трением»
В обычных системах с трением, примеры которых мы рассмотрели
выше, коэффициент Ii = ~ (или в электрических системах h = j
является всегда положительной величиной, ибо трение всегда препятствует движению и Ь^>0 (точно так же и 0). Положительный коэффициент трения и положительное сопротивление соответствуют тому, что на преодоление сил трения (или сопротивления в электрической цепи) расходуется энергия. Действительно, если в уравнении движения
т Ж + = 0 (1.14)
dx
умножить все члены на -щ и затем взять интеграл за некоторый промежуток времени от 0 до т, то получим:
-!^-+WS)"*+Hf«=*
О 0 0
Произведя интегрирование, имеем:
т fdx\21 , I kx2
T E +Pf =-\b[^\dt. (1.57)
dx
2 \ dtj 1 I 2 y\dt,
Слева стоят члены, выражающие изменение кинетической и потенциальной энергии системы за время от 0 до т; сумма их, очевидно, определяет изменение полной энергии системы за этот промежуток времени. Если 0, то интеграл, стоящий справа, положителен и изменение энергии отрицательно, т. е. энергия системы убывает. Эта убыль энергии обусловлена потерями энергии на трение.
Если бы b, а вместе с тем и h было отрицательно, то энергия системы возрастала бы, и «трение» в этом случае явилось бы источником энергии. Ясно, что в системе, не обладающей собственным источником энергии, это невозможно, и Ь, а вместе с тем и h, всегда положительно. Но если система обладает собственным резервуаром энергии, то, вообще говоря, можно допустить, что h 0 и что энергия системы возрастает за счет «трения» или «сопротивления». Конечно, это уже не будет трение или сопротивление в обычном смысле. Но поскольку оно характеризуется тем же членом дифференциального уравнения, что и обычное трение, именно членом, содержащим
, мы будем и в случае отрицательного h применять термин «трение» и «сопротивление» и будем говорить об «отрицательном трении» и «отрицательном сопротивлении».
1. Механический пример. Простейшим примером такой механической системы, в которой «трение» в известной области отрица- § 6] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ» 83
тельно, может служить устройство, изображенное на рис. 41. На движущейся равномерно со скоростью H0 ленте лежит масса т, укрепленная пружинами Mi и Сила трения ленты о груз есть некоторая, вообще говоря довольно сложная, функция относительной скорости ленты и тела. Если мы обозначим смещения груза через х, а его скорость через X, то сила трения, действующая на массу т, как функция относительной скорости v = v9 — Сможет быть записана таким образом: /7 (гі0 — х). Если обозначить «результирующий» коэффициент упругости через k и считать пропорциональными первой степени скорости все остальные силы трения, действующие в этой системе (например, сопротивление воздуха или внутреннее трение в пружинах), то уравнение движения массы т напишется так:
