Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Итак, одним только изменением величины А, характеризующей «сопротивление» системы (от больших положительных до больших отрицательных А), можно перевести систему последовательно через пять различных областей, соответствующих различным типам движений и состояний равновесия, а именно: устойчивый узел, устойчивый фокус, центр, неустойчивый фокус и неустойчивый узел. В следующем параграфе мы познакомимся еще с одним типом состояний
') В рассмотренных нами механических системах нет элемента, аналогичного переменной обратной связи. Поэтому для изменения режима нужно изменять какой-то другой параметр, например крутизну характеристики трения. В ламповом генераторе также можно было бы вместо изменения величины обратной связи изменять крутизну характеристики лампы в рабочей точке, т. е. изменять величину St,. Из-за отсутствия обратной связи в рассмотренных механических системах нет полной аналогии между этими системами и обычным ламповым генератором. Аналогом маятника Фроуда является так называемый динатронный генератор, в котором нет обратной связи и самовозбуждение наступает вследствие работы на падающем участке характеристики лампы (см. § 7 настоящей главы). 92
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
равновесия, который не может быть изменен путем изменения затухания в системе. Рассмотренные же пять типов состояний равновесия отличаются один от другого только величиной и знаком трения в системе.
Однако не все эти пять типов равновесия представляют одинаковый физический интерес. Всем состояниям равновесия, кроме центра (A = O), соответствуют конечные области значений параметров системы, в частности параметра М. Другими словами, значениям М, заключенным между заданными конечными пределами, может соответствовать всякое состояние равновесия, кроме центра, а этому последнему состоянию равновесия соответствует только одно-единственное значение Mkр, получающееся из условия MS0—RC = 0. Если это условие хоть немного нарушается, т. е. если хотя бы немного изменяется какой-либо из параметров системы, то система переходит в область А 0 или А 0. Это значит, что состояние равновесия типа центра неустойчиво по отношению к малым изменениям параметров системы. Другие же состояния равновесия сохраняют свой тип при небольших изменениях параметров системы, т. е. обладают устойчивостью по отношению к малым изменениям параметров системы. Так как небольшие изменения параметров системы всегда неизбежны, то неустойчивые по отношению к ним состояния не отражают поведения реальной физической системы. Поэтому состояние равновесия типа центра физически имеет значение лишь как граница между двумя другими состояниями — устойчивым и неустойчивым фокусом, точно так же как случай As = W0 имеет смысл лишь как граница между узлом и фокусом. Однако этим границам, как уже указывалось, не следует придавать слишком большого физического смысла. В реальных системах переход от одного типа движений к другому происходит постепенно и физическая граница между колебательным и апериодическим затуханием не слишком резка, так* как при увеличении затухания система теряет свои колебательные свойства не сразу, а постепенно. Другими словами, в реальных системах мы не в состоянии отличить «сильный» фокус, т. е. фокус с очень большим А (когда As только немного меньше ю0), от «слабого» узла, т. е. узла, для которого A2 только немного больше ю^. Точно так же мы не можем отличить очень слабое затухание от очень слабого нарастания, ибо, чтобы обнаружить разницу между этими двумя процессами, нам бы пришлось ждать чрезвычайно долго.
Мы убедились выше, что соответствующим выбором направления и величины обратной связи можно не только добиться уменьшения затухания собственных колебаний в системе, но и достигнуть того, что эти колебания станут нарастающими. Физический смысл этого явления совершенно ясен. Уменьшение затухания системы обусловлено, очевидно, тем, что вместо части энергии, рассеиваемой в контуре, поступает некоторое количество энергии из внешнего источника (в пашем случае из анодной батареи), которое частично компенси- § 6] ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ С «ОТРИЦАТЕЛЬНЫМ ТРЕНИЕМ» 93
рует потери энергии в контуре и тем самым замедляет затухание в системе. Чем сильнее обратная связь, тем больше энергии поступает из батареи в контур за период, тем большая часть потерь компенсируется и тем слабее затухают колебания. При дальнейшем увеличении обратной связи энергия, поступающая в контур, может оказаться больше, чем потери энергии в нем, и тогда энергия в контуре будет возрастать, в контуре будут происходить нарастающие колебания, а при дальнейшем увеличении поступающей в контур энергии — даже апериодическое нарастание. О том, как долго будет продолжаться нарастание колебаний, прекратится ли оно и когда именно, мы, как уже указывалось, ничего не можем сказать, оставаясь на линейной точке зрения.
Исследуя линейные уравнения, мы не можем также ничего сказать о том, какой процесс установится в системе по прошествии достаточно длинного промежутка времени и, в частности, возможен ли в данной системе периодический процесс. Мы можем лишь утверждать, что в рассматриваемой нами линейной системе периодический процесс невозможен. Для ответа на вопрос о дальнейшей судьбе реальной системы, после того как она выйдет за пределы области, которой мы ограничили наше рассмотрение, нужно, очевидно, рассматривать эту систему уже как нелинейную. Такое нелинейное рассмотрение и составляет нашу дальнейшую задачу. Пока мы лишь укажем, что отсутствие колебательных движений вблизи положения равновесия отнюдь не доказывает вообще невозможности колебательных движений в данной системе. В частности, если вблизи положения равновесия происходит апериодическое нарастание (неустойчивый узел), то это вовсе не значит, что в дальнейшем в системе не может установиться колебательный процесс. Как мы увидим, и в случае особой точки типа узла вполне возможно существование периодического процесса (незатухающих колебаний).
