Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
07
му = qix и у = —q^x. Для определения вида других интегральных кривых мы можем, как и прежде, подстановкой проинтегрировать уравнение (1.80) и получить:
(у — Я\хУЧі = С Су + q<iX)4' (1.82)
— уравнение, определяющее семейство кривых гиперболического типа с асимптотами y = q^x и у = — q3x, которые, очевидно, проходят через разные квадранты. Семейства интегральных кривых для рассматриваемого случая изображены на рис. 54 (для h 0) и рис. 55 (для й> 0).
Для выяснения вида интегральных кривых можно, так же как и в ранее рассмотренном случае особой точки типа узла, ввести новые переменные
u=y — qxx, v=y-\-qtx и преобразовать уравнение (1.82) к виду
где а = — 0. Ha плоскости и, v это уравнение определяет се-Q»
мейство кривых гиперболического типа, асимптотами которых являются оси координат (рис. 56). Поэтому на плоскости х, у уравнение (1.82) определяет также семейство кривых гиперболического типа с асимптотами y = q^x и у = —q^x — прямыми, в которые преобразуются при обратном преобразовании оси и и v. 102
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
Мы видим, таким образом, что наличие сопротивления, как положительного, так и отрицательного, не изменяет принципиально картины в системе с отталкивающей силой. Особая точка — по-прежнему седло, она всегда неустойчива, и все движения в системе в конечном счете удаляют систему от состояния равновесия. По прошествии достаточно длинного промежутка времени система уйдет как угодно далеко и, следовательно, наверно выйдет за пределы
той области, которой мы ограничили наше рассмотрение и в которой систему можно было рассматривать как линейную. Значит, и в этом случае, так же как и в случае отрицательного трения, т. е. вообще во всех случаях неустойчивости состояния равновесия, мы можем при помощи линейной идеализации описать поведение системы только в течение определенного промежутка времени и то при небольших начальных отклонениях, пока система не успела уйти за пределы «линейной области».
Рассмотрение линейных систем мы закончим весьма важным для дальнейшего замечанием. Ни одна из рассмотренных нами картин на фазовой плоскости для различных линейных систем, кроме гармонического осциллятора без трения (т. е. кроме консервативной линейной системы), не дала на фазовой плоскости замкнутых интегральных кривых, и все интегральные кривые имели ветви, уходящие в бесконечность. Между тем периодическим процессам на фазовой плоскости должны соответствовать замкнутые интегральные кривые. Мы можем поэтому вывести из нашего рассмотрения линейных систем следующее важное заключение: в линейных неконсервативных системах периодические процессы вообще невозможны. ГЛАВА II
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ § 1. Введение
При макроскопическом рассмотрении мы встречаемся всегда с неконсервативными системами, т. е. системами, в которых полная энергия не остается постоянной, а рассеивается при движении. Однако во многих случаях этот процесс рассеяния энергии происходит настолько медленно и влияние его на характер движения системы столь незначительно, что на ряд интересующих нас вопросов мы можем ответить, не учитывая этого влияния и считая, что сумма потенциальной и кинетической энергии в системе остается постоянной. В результате такой идеализации мы приходим к представлению о консервативных системах, г
В других же случаях рассеяние энергии в системе происходит столь быстро, что мы уже не можем пренебрегать этим обстоятельством и должны рассматривать систему как неконсервативную, для того чтобы (с заданной степенью точности) ответить на те же самые вопросы, на которые в первом случае мы могли ответить, считая систему консервативной. Как уже неоднократно указывалось, к разделению систем на консервативные и нехотсезвативнме мы приходим в результате идеализации свойств реальных физических систем, а характер допустимой идеализации зависит не готько or своіств системы, но и от характера тех вопросов, которые нас интересуют. \Х.ак, например, для решения вопроса о движении маятника, испытывающего очень малое трение (маятник подвешен на очень острых призмах и помещен в сосуд, из которого удален воздух), мы можем для не слишком больших промежутков времени (например, сотен периогов) с очень большой точностью рассматривать его как систему консервативную, т. е. считать, что сумма кинетической и потенциальной энергии остается постоянной. Если же нас интересует вопрос о характере движений маятника в течение очень большого промежутка времени, то, рассматривая систему как консервативную, мы уже не сможем получить правильного ответа на данный вопрос. Несмотря на то, что энергия рассеивается очень медленно, за достаточно большой промежуток времени ее рассеется столько, что энергия, оставшаяся 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
в системе, будет заметно меньше той, которую имела система в начальный момент. Точно так же движение планет, например Земли, мы можем рассматривать как движение консервативное, опять-таки если интересующие нас промежутки времени не слишком велики. При очень больших промежутках времени, охватывающих геологические эпохи, мы для рассмотрения движения Земли должны учитывать так называемое приливное трение, при учете которого мы уже не можем считать систему консервативной.
