Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
-AMAMMMn
о о о о
I
--l-
= т" i I
_1_
Рис. 37.
Рис. 38.
водной, полностью аналогичных уравнению (1.14) для движения осциллятора с малой массой, которое нами было подробно рассмотрено в пункте 2 настоящего параграфа.
На основании этой аналогии мы можем утверждать, что в начальной стадии движения в /?С-контуре (при малой индуктивности Z.0) будут происходить быстрые изменения силы тока i = q (заряд конденсатора q за это время почти не меняется), а в /??-контуре (при
малой емкости C0) — быстрые изменения или э. д. с. самоиндук- § 5] ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ 79
ции (ток I при этом почти не меняется). В результате быстрых изменений тока (в первом случае) и э. д. с. самоиндукции (во втором) системы за малый промежуток времени, длительность которого по
порядку величин совпадает с ~ или C0R, приходят в состояния, близ-
H
киё к совместным с уравнением первого порядка (1.49) или (1.50). Дальнейшие движения удовлетворительно отображаются уравнениями
первого порядка ^ тем точнее, чем меньше по сравнению с единицей
La С I?2 \
7=Г5» в первом случае и —---во втором I *).
L /к L j
Если нас не интересуют подробности этих быстрых изменений, мы можем не принимать во внимание малую индуктивность L0 в /^С-контуре и малую емкость C0 в RL-контуре и вместо детального рассмотрения начальной стадии движения ввести соответствующие условия скачка.
Для /?С-контура мы должны допустить скачки тока і при неизменном заряде конденсатора q\ для /^/.-контура — скачки э. д. с. ! di\
самоиндукции |^или при неизменном токе і.
Если бы мы допустили мгновенные изменения силы тока в цепи с самоиндукцией, т. е. допустили бы, что в некоторые моменты
~ = оо, то на концах катушки самоиндукции мы должны были бы
допустить возникновение бесконечно большой э. д. с. самоиндукции йга
С другой стороны, если бы мы допустили мгновенные изменения заряда на обкладках конденсатора, то это вынудило бы нас допустить возникновение бесконечно больших токов в контуре (гак
как если q изменяется скачком, то ^ = г = оо) . Как те, так и другие изменения запрещаются установленными нами постулатами о характере скачков2).
Заметим, что во всех трех рассмотренных примерах мы имели дело с консервативными скачками, т. е. с такими скачками, при которых энергия системы не менялась. В самом деле, в случае осциллятора без массы вся энергия системы состояла из потенциальной
kx2
энергии пружины и равнялась -у (кинетическая энергия равнялась
*) На основании этой же аналогии мы можем утверждать, что те же малые паразитные емкости и индуктивности являются несущественными, второстепенными параметрами для колебаний в контурах при начальных условиях, совместных с соответствующими уравнениями первого порядка.
s) Можно, очевидно, получить сформулированные выше условия скачка из постулата ограниченности токов и напряжений на отдельных элементах контуров. Этот постулат, конечно, не является следствием уравнений первого порядка, а является дополнительным физическим предположением. 80
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
нулю в силу предположения, что WZ = O). При скачке координата х оставалась неизменной, следовательно, не менялась и энергия. Точно так же в /?С-контуре энергия системы состояла из энергии электрического поля в конденсаторе (энергия равнялась , в /?/.-конту-
/ ил
ре — из энергии магнитного поля катушки самоиндукции I=-^-L
и, поскольку при скачке не менялся в первом случае заряд конденсатора q и во втором — ток і, энергия также оставалась неизменной.
Не следует, однако, думать, что консервативность является непременным условием, справедливым для любых скачков. Уже в механике при рассмотрении ударов приходится часто пользоваться представлением о неконсервативных ударах (при ударе кинетическая энергия соударяющихся тел «мгновенно» уменьшается). С подобными же скачками, при которых энергия системы меняется, мы встретимся в дальнейшем (в теории часов и лампового генератора с !-характеристикой). Сейчас же мы приведем только один пример системы с неконсервативными скачками.
Рассмотрим схему, изображенную на рис. 39. Состояние схемы, получаемое непосредственно после замыкания ключа (ток в сопротивлении и напряжение на конденсаторе C1 равны нулю, напряжение на конденсаторе C1 равно Е), очевидно, не совместимо с уравнением (1.49) для /?С-контура с емкостью C=C1-I-C2. Пренебрегая сопротивлением и индуктивностью ключа (в замкнутом состоянии) и проводов, соединяющих конденсаторы C1 и C2, мы должны допустить, что после замыкания ключа по проводам, соединяющим эти конденсаторы, потекут бесконечные токи, в результате чего напряжения на конденсаторах C1 и C2, а также ток через сопротивление изменятся скачком. В конце этого «мгновенного» скачка напряжения на конденсаторах должны стать одинаковыми (обозначим это напряжение через г»0), а ток через сопротивление R должен быть равным v0/R. Для определения г»0 заметим, что во время «мгновенного» перезаряда конденсаторов суммарный заряд конденсаторов не должен изменяться, ибо токи через сопротивление R всегда конечны. Таким образом,
