Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Условие скачка можно получить и из рассмотрения разбиения фазовой плоскости «полной» системы на фазовые траектории в предельном случае т —0 (рис. 33). Обозначив, как обычно, х=у, запишем уравнения движения «полной» системы в виде:
kx-f- by ,,
х=У, у =--=^. (1.55)
На фазовой плоскости х-, у фазовой линией системы с степени свободы (/я = 0) является прямая
kx-\~by = 0. (1.56)
1J Подобным приемом — введением постулатов, которыми заменяют более детальное рассмотрение тех или иных процессов, — пользуются часто. Например, при рассмотрении задачи об ударе в механике обычно отказываются от рассмотрения самого процесса соударения тел и заменяют это рассмотрение представлением о «мгновенном» ударе, добавляя некоторые постулаты, которые позволяют, не рассматривая процесса соударения в деталях, установить те состояния, в которых будут находиться тела непосредственно после соударения. 76
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ [ГЛ. I
Очевидно, в любой точке (х, у) фазовой плоскости вне этой прямой (там kx by ф 0) у —. оо при т.—+ О (а х остается конечной), т.е. всюду вне прямой (1.56) происходят быстрые, в пределе скачкообразные, изменения состояний системы (скачком меняется скорость у). Далее, согласно (1.55):
dy dx
kx + by
ту
Поэтому вне прямой kx-\-by= О
при т —- О
ЗУ.
dx
оо и фазовыми тра-
Jrx +By=O
екториями являются вертикальные прямые (x = const). По ним изображающая точка скачком (с фазовой скоростью, стремящейся к бес-Рис. 33. конечности при т—* 0; при скачке
X не изменяется) идет к фазовой линии системы с 7а степени свободы — к прямой (1.56), так как над этой прямой kx-\-by~^> О и у—»— оо при т—> О и под ней у ¦—> —оо. Так как все фазовые траектории быстрых скачкообразных движений приходят к прямой kx -}- by= О, то дальнейшее движение изображающей точки происходит по этой прямой (по направлению к состоянию равновесия). Подобными приемами получения условий скачка мы часто будем пользоваться в дальнейшем при рассмотрении «разрывных» коле баний.
Поясним наглядно, при помощи чертежей, смысл введенного нами условия скачка. Так как в рассматриваемом случае скачком меняется скорость, то сопоставим диаграмму скорости по времени для случая тф О (уравнение второго порядка) с такой же диаграммой для tn = О (уравнение первого порядка плюс условие скачка).
В начальный момент произвольно могут быть заданы х и х. Пусть, например, при /==0 х = х0 (х0^>0), х = 0. Зависимость
Рис. 34. § 5] ОСЦИЛЛЯТОР С МАЛОЙ МАССОЙ
77
скорости от времени, как нетрудно выяснить, следуя уравнению второго порядка, имеет вид, изображенный на рис. 34, А (при по-
6s \
строении принято, что • Если же мы будем пользоваться
уравнением первого порядка, то начальное значение X = X0 автома-
k
тически дает начальное значение X =--^-X0 и дальнейшее изменение скорости со временем согласно рис. 34, В. Скачок, уничтожающий конфликт между начальными условиями х = х0, х=0 и дифференциальным уравнением первого порядка, изображен на рис. 34, В отрезком OO1.
Легко видеть сходство рис. 34, А и В; физический смысл этого сходства был выяснен нами в пункте 2.
4. Другие примеры. Рассмотрим теперь колебания RC- или /^/..-контура, которые начинаются из состояний, не удовлетворяющих соответствующему уравнению первого порядка:
Rq + ±= 0 (1.49)
или
L g + Ri = O. (1.50)
Для рассмотрения таких колебаний мы должны или перейти к другим, более «полным» идеализациям соответствующих реальных электрических контуров, учитывая необходимые существенные малые параметры1), или дополнить уравнения (1.49) или (1.50) соответствующими условиями скачка.
Пусть в начальный момент /=0 в /?С-контуре заданы такие начальные значения заряда q0 и тока q0, а в А?і-контуре—значения
тока I0 и (^) , которые не удовлетворяют уравнениям первого
порядка для этих контуров (например, начальные состояния q0 ф 0,
^0 = 0 и I0 Ф 0, (= 0, которые могут быть заданы замыканием
ключа в схемах, изображенных на рис. 35 и 36). Чтобы получить системы, совместные с заданными начальными условиями, учтем в случае AfC-контура малую индуктивность, которой обладают сопротивление и соединительные провода, и в случае А??-контура — малую емкость, которой обладают катушка самоиндукции, сопротивление
1J То, какие малые параметры являются существенными и должны быть учтены, зависит от того начального состояния, которое задано в реальной системе. Во всяком случае идеализированная модель, получаемая в результате учета этих малых параметров, должна быть совместной с заданным начальным состоянием. 78
ЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. I
и соединительные провода. Представляя эти малые паразитные индуктивности и емкости в виде сосредоточенных, мы придем к систе-
—WW—
E
Рис. 35.
(-AAAAA-I
мам, схемы которых изображены на рис. 37 и 38 (там L0 и C0— малые паразитные индуктивность и емкость). Уравнения колебаний теперь запишутся в виде
Uq + Rq ¦
для схемы на рис. 37 и
ЛЧ
dl
CtLR-^+L-^ + Rl = О
dt
для схемы на рис. 38, т. е. в виде линейных уравнений второго порядка с малым положительным коэффициентом при старшей произ-
