Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Движение по полученному таким образом участку кривой легко найдется при помощи уже неоднократно применявшихся соображений. Изменив несколько А, получим соседнюю близкую кривую на фазовой плоскости.
Воспользуемся этим способом для решения нашей задачи — дать картину интегральных кривых на фазовой плоскости вблизи состояний равновесия. Начнем с того случая, когда состояние равновесия соответствует минимуму потенциальной энергии.
Пусть минимум потенциальной энергии имеет место для jc=xh пусть K(Jc) = A0. Диаграмма баланса энергии вблизи х = х будет иметь вид, изображенный на рис. 58. Интегральная кривая для A = A0 вырождается в изолированную точку с координатами х = х, у = 0. Для близкого значения A = A1(A1^A0) будем иметь замкнутую инте-
') Для простоты построения мы примем для фазовой плоскости несколько
у
иной масштаб вдоль оси ординат, откладывая по ординатам не у, а —.
V ^
!) Абсцисса а точки пересечения интегральных кривых с осью х, очевидно, определяется уг<іні'ением V(x) = h. В рассматриваемом случае точка х = а не является особой, так как/(а)^?0. § 3] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ВБЛИЗИ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ
111
гральную кривую. Направление движения по этой замкнутой кривой легко найдется обычным методом.
При этом движении по замкнутой интегральной кривой действительная скорость, т. е. скорость материальной точки, два раза обращается в нуль: при Jt = а и Jt = ? (рис. 58); скорость же изображающей точки на фазовой плоскости нигде не равняется нулю, так как наша кривая не проходит через особую точку. Представляющая точка, двигаясь по замкнутой кривой, будет возвращаться на прежнее место через конечный промежуток времени. Отсюда следует, что мы имеем дело с периодическим движением. Нетрудно видеть, что промежуточные значения h дают опять замкнутые интегральные кривые, которые также соответствуют периодическим движениям.
На фазовой плоскости мы получаем целый континуум замкнутых кривых, вложенных одна в другую и охватывающих выродившуюся в точку интегральную кривую х = х, у = 0. Особую точку дифференциального уравнения с таким характером поведения окрестных интегральных кривых мы уже встречали при рассмотрении линейной консервативной системы. Такая точка, как указывалось, носиг название центра.
Особая точка типа центра, как мы уже убедились при рассмотрении частного примера, соответствует устойчивому состоянию равновесия. Найдем теперь аналитические условия наличия такой особой точки и приближенные уравнения замкнутых кривых вблизи нее.
Вблизи особой точки с координатой х разложения f(x) и V(Jt) в ряды имеют вид
Рис. 58.
/(*)= а, (х —- х) ¦ V(X)=H9-
-xf Xf-
1 • V O2
-(Jt-Jt)3
1-2-3
(х — Jt)3
«3
1 -2-3-4
(2.8)
(2.9)
где а, = f (Jt) = —V" (Jt), а2 = /" (х) = — Vr" (х), и т. д. Перенесем начало координат в эту особую точку, положив x = x-\-Z', у = О —[— тг], и подставим в уравнение исследуемого семейства (2.7) выражение V (jc + S) в виде ряда. Тогда уравнение исследуемого семейства кривых может быть записано гак:
Via _ Je1Sl L. I а»
2 ' 0 \1 - 2 Г-- - "I 1 . 2 ... (А 4- 1)
-f...} = A. (2.10) 1 16 КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
Рассмотрим сначала случай -ф. 0. В этом случае на нашей диаграмме баланса энергии прямая Z = A0 имеет соприкосновение первого порядка с кривой V (х) в точке х = х. Так как V (х) для х=х имеет минимум, то V" (Jc) 0 и ах<[0. Кривая (2.10) для A = A0 имеет в точке ? = 0, т] = 0 изолированную особую точку.
Для достаточно малого a = h — A0 (а^>0) получаются замкнутые кривые, близкие к эллипсам, так как приближенно они могут быть описаны уравнением
p2 ti2
Ь + !'=1' (2Л1>
где b2 : 2а, а2 = .
I O11
Движение, изображаемое на фазовой плоскости эллипсом, является гармоническим движением. Таким образом, для достаточно малых начальных отклонений движение будет близко к гармоническому. При увеличении начальных отклонений движение, вообще говоря, будет все сильнее и сильнее отличаться от гармонического, причем период также будет меняться в зависимости от величины начальных отклонений, так как время обращения представляющей точки по разным интегральным кривым, вообще говоря, различно.
Если лишь какое-нибудь ak ф 0, тогда как ^1 = O, а2 = 0,..., ak_ 1 = 0, то на диаграмме баланса энергии прямая Z = A0 имеет соприкосновение k-vo порядка с кривой потенциальной энергии в точке X = х. Так как V (х) для х = х имеет минимум, то k непременно нечетное и 0. Кривая (2.10) для A = A0 опять имеет изолированную точку; для достаточно малого а = А — A0 (А^>А0) мы получим замкнутые интегральные кривые вида:
-Kiift^-_.в. (2.12)
2 1 1 • 2 ... А (А + 1)
Замкнутые кривые вокруг особой точки даже в непосредственной близости к ней уже не будут походить на эллипсы, и соответствующие движения уже не будут близки к гармоническим даже при весьма малых отклонениях.
Однако общая топологическая картина движений на фазовой плоскости от этого не изменится: всякую особую точку, соответствующую минимуму потенциальной энергии, окружает континуум замкнутых кривых, вложенных друг в друга и соответствующих периодическим движениям.
