Теория колебаний - Андронов А.А.
Скачать (прямая ссылка):
Пусть нам задана на фазовой плоскости точка (х0, j>0). Спрашивается, можно ли всегда найти интегральную кривую, которая проходила бы через заданную точку, и будет ли такая кривая единственной? Уравнение (2.3) определяет в каждой точке фазовой плоскости единственное направление касательной, за исключением особых точек, где j/ = 0 и /(х) = 0.
докажем, что в нашем случае через каждую неособую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна интегральная кривая. Мы знаем, что такая кривая существует и будет единственной, если соблюдены условия теоремы Коши1J. Мы рассматривали у как
функцию X и имели дело с уравнением — f^ = у (х,у); в этом
случае ~dy=--^2 > и следовательно,у = 0 есть геометрическое место
точек на фазовой плоскости, где условия Коши нарушены. Будем рассматривать теперь х как функцию у. Тогда дифференциальное
уравнение (2.3) следует записать в виде: = ^ =ф(х, у\
d'h Vf'(х)
В этом случае -^j- = — \/(х)\> ' ^словие/(•*•)= 0 дает нарушение условий непрерывности, и следовательно, для этого уравнения условия теоремы Коши нарушены на прямых /(х) = 0. Мы рассматриваем одно и то же дифференциальное уравнение (2.3), только с различных точек зрения. Полученные нами при этом различные результаты отнюдь не противоречивы, так как условия Коши только достаточны, но не необходимы для единственности. Следовательно, мы можем утверждать, что через каждую точку фазовой плоскости проходит одна и только одна интегральная кривая, за исключением, может быть, точек, где одновременно JZ = O и /(х) = 0, т. е. за исключением особых точек. Как мы увидим дальше, для рассматриваемого случая консервативной системы в особых точках интегральные кривые либо пересекаются и имеют, воээще говоря, различные касательные, либо
') Формулировку теоремы Коши о существовании и единственности решения дифференциального уравнении (или системы дифференциальных уравнений) см. в Дополнении 1. § 2] ПРОСТЕЙШАЯ КОНСЕРВАТИВНАЯ СИСТЕМА 107
вырождаются в изолированные точки и совсем не имеют касательных. Скорость изображающей точки
V = Iy+ !/(*) (2.6)
всюду определена однозначно и, как мы уже видели, обращается в нуль только в особой точке. Отсюда в силу непрерывности следует, что вблизи особой точки изображающая точка замедляет свое движение.
Пусть для системы уравнений (2.2) в некоторой области (при нашем предположении об аналитичности f(x) на всей прямой х этой областью является вся плоскость) выполнены условия теоремы Коши. Отсюда вытекает, что для рассматриваемой динамической системы прошедшее и будущее однозначно определяется настоящим, так как значение начальных условий однозначно определяет движение, или, иначе говоря, решение системы (2.2).
Останется ли это справедливым при движении по интегральным кривым, пересекающимся в особых точках? Или — что то же самое — может ли изображающая точка, помещенная в начальный момент на интегральную кривую, проходящую через особую точку (но не в особую точку), достигнуть этой особой точки в конечное время? Мы покажем, что это невозможно: изображающая точка, находившаяся в начальный момент в точке фазовой плоскости, не являющейся особой точкой для уравнения (2.3), может лишь асимптотически приближаться к особой точке при неограниченно возрастающем t.
Сделаем прежде всего следующее замечание. Картину кривых на фазовой плоскости мы можем, как мы уже видели, описывать либо одним уравнением (2.3) и изучать с его помощью интегральные кривые, либо описывать системой уравнений (2.2) и изучать фазовые траектории. В сущности можно сказать, что во втором случае мы после решения получаем уравнения тех же интегральных кривых, но в параметрической форме х = х(?), y=y(t), иначе, получаем закон движения изображающей точки по интегральной кривой на фазовой плоскости. Различие этих двух способов изображения одного и того же семейства кривых особен ;о ярко проявляется в следующем. Пусть х=ха,у = уп— координаты') особой точки уравнения (2.3), т. е. координаты точки, в которой нарушаются условия теоремы Коши для одного уравнения (2.3); тогда х = х0, у = уп в нашем случае будет точкой, в которой выполняются условия теоремы Коши для системы уравнений (2.2).
Нетрудно убедиться непосредственной подстановкой, что система функций х = ха, у =у„ есть решение системы уравнений (2.2), т. е., как об этом мы уже говорили, что точка X11, у„ является для системы (2.2) состоянием равновеси і. Заметим, что так как в этом случае решение системы (2.2) (соответствующее сосголни.о равновесия) не
Согласно уравнению (2.3) .V0 — корень уравнения /(Jf)=O1 а _у0=0. 1 16
КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ
[ГЛ. Il
зависит от t, то, задавая начальные значения t = t0, jc = jc0, _У=_У0, мы при любом ^0 получим решение в виде лг=лг0, _У=_У0.
Рассмотрим изображающую точку, двигающуюся по интегральной кривой, проходящей через особую точку, по направлению к особой точке. Скорость ее движения, как мы уже говорили, уменьшается и стремится к нулю при неограниченном приближении к состоянию равновесия. Спрашивается, может ли изображающая точка в конечное время достигнуть состояния равновесия или же она, как мы указали, может лишь асимптотически к нему приближаться, никогда его не достигая? Предположим, что имеет место первый случай, т. е. что изображающая точка, двигаясь по закону jc = jc(^), y=y(t), находится вне состояния равновесия в момент времени t = t9 и достигает состояния равновесия с координатами jc = jc0, у=у0 в некоторый определенный момент времени (^1 ^0), т. е. что jc0 = jc(^1), JZ0=JZ(^1). Но тогда мы получили бы два решения, удовлетворяющих одним и тем же начальным условиям: при t = tx jc = jc0, Jz = =Jz0 — одно jc = jc0, jz=jz0, другое jc = jc(^), jz=jz(^). Последнее невозможно, так как в точке jc0, Jz0, как это только что отмечалось для системы уравнений (2.2), выполняются условия теоремы Коши.
