Научная литература
booksshare.net -> Добавить материал -> Физика -> Андронов А.А. -> "Теория колебаний " -> 47

Теория колебаний - Андронов А.А.

Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний — М.: Физ-мат литература, 1959. — 916 c.
Скачать (прямая ссылка): teoriyakolebaniy1959.pdf
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 335 >> Следующая


Рассмотрим теперь случай, когда состояние равновесия соответствует максимуму потенциальной энергии. Диаграмма баланса энергии изображена на рис. 59 вверху, а внизу изображена фазовая плоскость. На фазовой плоскости для значения A = A0 мы получим четыре ветви кривой с общей точкой. Эти ветви мы перенумеруем I, II, III, IV и будем для краткости называть «усами» рассматриваемой особой точки. Характер «усов» вблизи особой точки легко § 3] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ВБЛИЗИ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ 113

исследовать аналитически, как это будет сделано ниже. Для значений А, близких к A0 (А,^> A0 и Aa A0), мы будем иметь участки интегральных кривых, похожие на ветви гипербол (рис. 60). Варьируя А между А, и A2, получим континуум промежуточных кривых.

Легко найти движение по этим интегральным кривым, пользуясь уже неоднократно применявшимся методом.

Во-первых, рассмотрим движение по усам (рис. 59). Изображающая точка, попав на усы // и IV вблизи состояния равновесия,

асимптотически к нему приближается, попав на усы / и /// — удаляется от состояния равновесия. (Заметим, что при изменении t на — t усы меняются ролями.) Движения, характеризуемые остальными интегральными кривыми, обладают тем свойством, что если изображающая точка попадет на любую из таких кривых вблизи состояния равновесия, она в конечное время уйдет достаточно далеко от этого состояния равновесия.

Особую точку дифференциального уравнения с таким

Рис. 59.

Рис. 60.

характером поведения окрестных интегральных кривых мы также уже встречали при рассмотрении систем с отталкивающей силой, это — особая точка типа седла.

Как мы видели при рассмотрении линейной системы с отталкивающей силой, особая точка типа седла соответствует всегда неустойчивому состоянию равновесия. Найдем теперь аналитические условия существования такой особой точки и приближенные уравнения интегральных кривых в непосредственной близости к состоянию равновесия. Поступая совершенно так же, как и в случае центра, мы 1 16

КОНСЕРВАТИВНЫЕ НЕЛИНЕЙНЫЕ СИСТЕМЫ

[ГЛ. Il

опять придем к уравнению (2.10):

Опять начнем со случая простого соприкосновения прямой 2 = A0 и кривой V(x) в точке х = х, т. е. со случая, когда at 0. Так как V(x) для х = х имеет максимум, то V"(x)<^0 и at ^>0. Полагая A = A0, мы получим уравнение усов. Нетрудно видеть, что начало координат (? = 0, т] = 0) является узловой точкой усов, причем уравнения касательных к усам в этом узле имеют вид

T1 = ArYal* и т1 = — Y^iI (2.13)

Для малых значений А — A0 = а мы получим семейство кривых, которые вблизи особой точки ведут себя подобно гиперболам, определяемым уравнением

?-? = '- <>•">

Вид усов и характер интегральных кривых в непосредственной близости к особой точке изображен на рис. 60. Мы уже исследовали в предшествующей главе характер движения представляющей точки по этому семейству гипербол. Ясно, что эти результаты приближенно справедливы для движения по интегральным кривым вблизи особой точки и в рассматриваемом случае. При удалении от особой точки эти результаты, полученные нами для линейной системы, вообще говоря, все менее и менее точно описывают исследуемые движения.

В том случае, когда прямая z= A0 и кривая V(x) имеют соприкосновение k-ro порядка, а, = 0, а2 = 0 и т. д. и лишь какое-нибудь ak ф 0. Так как для х = х V(x) имеет максимум, то k обязательно нечетное и ak ^>0. Полагая A = A0, мы опять получим уравнение усов. Нетрудно видеть, что начало координат ($ = 0, т] = 0) является точкой самоприкосновения усов (рис. 61), которые вблизи особой

точки близки к кривой T)2=-j—2—_[_ і) ^ "' и имеют общей касательной ось %. Для малых значений а (а = A — A0) мы получим соседние интегральные кривые, которые вблизи особой точки ведут себя подобно кривым

H2 fl,.

T 1 • 2. .(ft + 1) =0t* (2Л5)

Интегральные кривые вокруг особой точки уже отличаются от гипербол, и исследуемые движения уже даже приближенно не могут быть описаны при помощи той картины, которая была получена для линейной системы с отталкивающей силой. Однако общая топологическая картина движений на фазовой плоскости тождественна с предыдущим случаем и, следовательно, вполне определяется тем, что мы имеем дело с максимумом потенциальной энергии. § 3] ФАЗОВАЯ ПЛОСКОСТЬ ВБЛИЗИ СОСТОЯНИЙ РАВНОВЕСИЯ 115

Рассмотрим теперь третий и последний случай, когда состоянию

равновесия на кривой потенциальной перегиба с горизонтальной касательной.

Диаграмма баланса энергии и вид фазовой плоскости изображены на рис. 62. Построение интегральных кривых на фазовой плоскости не вызывает никаких затруднений для всех значений h, за исключением значения h = /г0, которое дает две ветви кривой с общей точкой л: = х, у = 0. Выяснение характера этих двух усов вблизи особой точки представляет некоторые затруднения, и для этого требуется аналитическое рассмотрение. Прежде чем перейти к такому исследованию, которое проводится совершен-

энергии соответствует точка

Рис. 61.

Рис. 62.

но так же, как в предыдущих двух случаях, заметим, что так как мы имеем дело с точкой перегиба, то непременно = 0 (так как а.у = — V" (лг), то первый коэффициент ak, не равный нулю, имеет k четным). Уравнение (2.15) в этом случае получает вид
Предыдущая << 1 .. 41 42 43 44 45 46 < 47 > 48 49 50 51 52 53 .. 335 >> Следующая

Реклама

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed

Есть, чем поделиться? Отправьте
материал
нам
Авторские права © 2009 BooksShare.
Все права защищены.
Rambler's Top100

c1c0fc952cf0704ad12d6af2ad3bf47e03017fed